Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная$$\cos^{2}{\left(x \right)} \operatorname{sign}{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} - \sin{\left(x \right)} \left|{\sin{\left(x \right)}}\right| = 0$$
Решаем это уравнениеКорни этого уравнения
$$x_{1} = 38.484510006475$$
$$x_{2} = 63.6172512351933$$
$$x_{3} = 24.3473430653209$$
$$x_{4} = -54.1924732744239$$
$$x_{5} = -93.4623814442964$$
$$x_{6} = -62.0464549083984$$
$$x_{7} = 3.92699081698724$$
$$x_{8} = -41.6261026600648$$
$$x_{9} = 76.1836218495525$$
$$x_{10} = -2.35619449019234$$
$$x_{11} = -98.174770424681$$
$$x_{12} = -24.3473430653209$$
$$x_{13} = -32.2013246992954$$
$$x_{14} = 90.3207887907066$$
$$x_{15} = -40.0553063332699$$
$$x_{16} = 110.74114103904$$
$$x_{17} = -10.2101761241668$$
$$x_{18} = -109.170344712245$$
$$x_{19} = 85.6083998103219$$
$$x_{20} = 25.9181393921158$$
$$x_{21} = 1601.4268551674$$
$$x_{22} = -76.1836218495525$$
$$x_{23} = -27.4889357189107$$
$$x_{24} = 69.9004365423729$$
$$x_{25} = -71.4712328691678$$
$$x_{26} = -38.484510006475$$
$$x_{27} = -11.7809724509617$$
$$x_{28} = 11.7809724509617$$
$$x_{29} = 18.0641577581413$$
$$x_{30} = -16.4933614313464$$
$$x_{31} = -3.92699081698724$$
$$x_{32} = -99.7455667514759$$
$$x_{33} = 5.49778714378214$$
$$x_{34} = -19.6349540849362$$
$$x_{35} = 47.9092879672443$$
$$x_{36} = -82.4668071567321$$
$$x_{37} = -49.4800842940392$$
$$x_{38} = 96.6039740978861$$
$$x_{39} = 46.3384916404494$$
$$x_{40} = -79.3252145031423$$
$$x_{41} = -60.4756585816035$$
$$x_{42} = -68.329640215578$$
$$x_{43} = 30.6305283725005$$
$$x_{44} = 27.4889357189107$$
$$x_{45} = -43.1968989868597$$
$$x_{46} = -69.9004365423729$$
$$x_{47} = 2.35619449019234$$
$$x_{48} = -57.3340659280137$$
$$x_{49} = 91.8915851175014$$
$$x_{50} = 62.0464549083984$$
$$x_{51} = -63.6172512351933$$
$$x_{52} = -33.7721210260903$$
$$x_{53} = 82.4668071567321$$
$$x_{54} = 49.4800842940392$$
$$x_{55} = 84.037603483527$$
$$x_{56} = -55.7632696012188$$
$$x_{57} = 0$$
$$x_{58} = -85.6083998103219$$
$$x_{59} = -21.2057504117311$$
$$x_{60} = -25.9181393921158$$
$$x_{61} = 33.7721210260903$$
$$x_{62} = -91.8915851175014$$
$$x_{63} = 8.63937979737193$$
$$x_{64} = 77.7544181763474$$
$$x_{65} = 55.7632696012188$$
$$x_{66} = -35.3429173528852$$
$$x_{67} = -87.1791961371168$$
$$x_{68} = 88.7499924639117$$
$$x_{69} = -90.3207887907066$$
$$x_{70} = -18.0641577581413$$
$$x_{71} = 10.2101761241668$$
$$x_{72} = -13.3517687777566$$
$$x_{73} = -65.1880475619882$$
$$x_{74} = 21.2057504117311$$
$$x_{75} = 98.174770424681$$
$$x_{76} = 60.4756585816035$$
$$x_{77} = 16.4933614313464$$
$$x_{78} = 66.7588438887831$$
$$x_{79} = 99.7455667514759$$
$$x_{80} = 74.6128255227576$$
$$x_{81} = 44.7676953136546$$
$$x_{82} = -77.7544181763474$$
$$x_{83} = 52.621676947629$$
$$x_{84} = 68.329640215578$$
$$x_{85} = 41.6261026600648$$
$$x_{86} = -47.9092879672443$$
$$x_{87} = 40.0553063332699$$
$$x_{88} = -5.49778714378214$$
$$x_{89} = -46.3384916404494$$
$$x_{90} = 54.1924732744239$$
$$x_{91} = 32.2013246992954$$
$$x_{92} = -164.148216150067$$
$$x_{93} = -84.037603483527$$
$$x_{94} = 19.6349540849362$$
$$x_{95} = 0.785398163397448$$
Зн. экстремумы в точках:
(38.484510006475, 0.5)
(63.6172512351933, 0.5)
(24.3473430653209, 0.5)
(-54.1924732744239, -0.5)
(-93.4623814442964, 0.5)
(-62.0464549083984, 0.5)
(3.92699081698724, -0.5)
(-41.6261026600648, -0.5)
(76.1836218495525, 0.5)
(-2.35619449019234, -0.5)
(-98.174770424681, -0.5)
(-24.3473430653209, 0.5)
(-32.2013246992954, 0.5)
(90.3207887907066, -0.5)
(-40.0553063332699, -0.5)
(110.74114103904, -0.5)
(-10.2101761241668, -0.5)
(-109.170344712245, -0.5)
(85.6083998103219, -0.5)
(25.9181393921158, 0.5)
(1601.4268551674, 0.5)
(-76.1836218495525, 0.5)
(-27.4889357189107, -0.5)
(69.9004365423729, 0.5)
(-71.4712328691678, -0.5)
(-38.484510006475, 0.5)
(-11.7809724509617, 0.5)
(11.7809724509617, 0.5)
(18.0641577581413, 0.5)
(-16.4933614313464, -0.5)
(-3.92699081698724, -0.5)
(-99.7455667514759, 0.5)
(5.49778714378214, 0.5)
(-19.6349540849362, 0.5)
(47.9092879672443, -0.5)
(-82.4668071567321, 0.5)
(-49.4800842940392, 0.5)
(96.6039740978861, -0.5)
(46.3384916404494, -0.5)
(-79.3252145031423, -0.5)
(-60.4756585816035, -0.5)
(-68.329640215578, 0.5)
(30.6305283725005, 0.5)
(27.4889357189107, -0.5)
(-43.1968989868597, 0.5)
(-69.9004365423729, 0.5)
(2.35619449019234, -0.5)
(-57.3340659280137, 0.5)
(91.8915851175014, -0.5)
(62.0464549083984, 0.5)
(-63.6172512351933, 0.5)
(-33.7721210260903, -0.5)
(82.4668071567321, 0.5)
(49.4800842940392, 0.5)
(84.037603483527, -0.5)
(-55.7632696012188, 0.5)
(0, 0)
(-85.6083998103219, -0.5)
(-21.2057504117311, -0.5)
(-25.9181393921158, 0.5)
(33.7721210260903, -0.5)
(-91.8915851175014, -0.5)
(8.63937979737193, -0.5)
(77.7544181763474, -0.5)
(55.7632696012188, 0.5)
(-35.3429173528852, -0.5)
(-87.1791961371168, 0.5)
(88.7499924639117, 0.5)
(-90.3207887907066, -0.5)
(-18.0641577581413, 0.5)
(10.2101761241668, -0.5)
(-13.3517687777566, 0.5)
(-65.1880475619882, -0.5)
(21.2057504117311, -0.5)
(98.174770424681, -0.5)
(60.4756585816035, -0.5)
(16.4933614313464, -0.5)
(66.7588438887831, -0.5)
(99.7455667514759, 0.5)
(74.6128255227576, 0.5)
(44.7676953136546, 0.5)
(-77.7544181763474, -0.5)
(52.621676947629, -0.5)
(68.329640215578, 0.5)
(41.6261026600648, -0.5)
(-47.9092879672443, -0.5)
(40.0553063332699, -0.5)
(-5.49778714378214, 0.5)
(-46.3384916404494, -0.5)
(54.1924732744239, -0.5)
(32.2013246992954, 0.5)
(-164.148216150067, 0.5)
(-84.037603483527, -0.5)
(19.6349540849362, 0.5)
(0.785398163397448, 0.5)
Интервалы возрастания и убывания функции:Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = -54.1924732744239$$
$$x_{2} = 3.92699081698724$$
$$x_{3} = -41.6261026600648$$
$$x_{4} = -2.35619449019234$$
$$x_{5} = -98.174770424681$$
$$x_{6} = 90.3207887907066$$
$$x_{7} = -40.0553063332699$$
$$x_{8} = 110.74114103904$$
$$x_{9} = -10.2101761241668$$
$$x_{10} = -109.170344712245$$
$$x_{11} = 85.6083998103219$$
$$x_{12} = -27.4889357189107$$
$$x_{13} = -71.4712328691678$$
$$x_{14} = -16.4933614313464$$
$$x_{15} = -3.92699081698724$$
$$x_{16} = 47.9092879672443$$
$$x_{17} = 96.6039740978861$$
$$x_{18} = 46.3384916404494$$
$$x_{19} = -79.3252145031423$$
$$x_{20} = -60.4756585816035$$
$$x_{21} = 27.4889357189107$$
$$x_{22} = 2.35619449019234$$
$$x_{23} = 91.8915851175014$$
$$x_{24} = -33.7721210260903$$
$$x_{25} = 84.037603483527$$
$$x_{26} = 0$$
$$x_{27} = -85.6083998103219$$
$$x_{28} = -21.2057504117311$$
$$x_{29} = 33.7721210260903$$
$$x_{30} = -91.8915851175014$$
$$x_{31} = 8.63937979737193$$
$$x_{32} = 77.7544181763474$$
$$x_{33} = -35.3429173528852$$
$$x_{34} = -90.3207887907066$$
$$x_{35} = 10.2101761241668$$
$$x_{36} = -65.1880475619882$$
$$x_{37} = 21.2057504117311$$
$$x_{38} = 98.174770424681$$
$$x_{39} = 60.4756585816035$$
$$x_{40} = 16.4933614313464$$
$$x_{41} = 66.7588438887831$$
$$x_{42} = -77.7544181763474$$
$$x_{43} = 52.621676947629$$
$$x_{44} = 41.6261026600648$$
$$x_{45} = -47.9092879672443$$
$$x_{46} = 40.0553063332699$$
$$x_{47} = -46.3384916404494$$
$$x_{48} = 54.1924732744239$$
$$x_{49} = -84.037603483527$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{49} = 38.484510006475$$
$$x_{49} = 63.6172512351933$$
$$x_{49} = 24.3473430653209$$
$$x_{49} = -93.4623814442964$$
$$x_{49} = -62.0464549083984$$
$$x_{49} = 76.1836218495525$$
$$x_{49} = -24.3473430653209$$
$$x_{49} = -32.2013246992954$$
$$x_{49} = 25.9181393921158$$
$$x_{49} = 1601.4268551674$$
$$x_{49} = -76.1836218495525$$
$$x_{49} = 69.9004365423729$$
$$x_{49} = -38.484510006475$$
$$x_{49} = -11.7809724509617$$
$$x_{49} = 11.7809724509617$$
$$x_{49} = 18.0641577581413$$
$$x_{49} = -99.7455667514759$$
$$x_{49} = 5.49778714378214$$
$$x_{49} = -19.6349540849362$$
$$x_{49} = -82.4668071567321$$
$$x_{49} = -49.4800842940392$$
$$x_{49} = -68.329640215578$$
$$x_{49} = 30.6305283725005$$
$$x_{49} = -43.1968989868597$$
$$x_{49} = -69.9004365423729$$
$$x_{49} = -57.3340659280137$$
$$x_{49} = 62.0464549083984$$
$$x_{49} = -63.6172512351933$$
$$x_{49} = 82.4668071567321$$
$$x_{49} = 49.4800842940392$$
$$x_{49} = -55.7632696012188$$
$$x_{49} = -25.9181393921158$$
$$x_{49} = 55.7632696012188$$
$$x_{49} = -87.1791961371168$$
$$x_{49} = 88.7499924639117$$
$$x_{49} = -18.0641577581413$$
$$x_{49} = -13.3517687777566$$
$$x_{49} = 99.7455667514759$$
$$x_{49} = 74.6128255227576$$
$$x_{49} = 44.7676953136546$$
$$x_{49} = 68.329640215578$$
$$x_{49} = -5.49778714378214$$
$$x_{49} = 32.2013246992954$$
$$x_{49} = -164.148216150067$$
$$x_{49} = 19.6349540849362$$
$$x_{49} = 0.785398163397448$$
Убывает на промежутках
$$\left[110.74114103904, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, -109.170344712245\right]$$