Господин Экзамен
Другие калькуляторы
-
Как пользоваться?
- Уравнение:
-
Уравнение 2*x^2-5*x+2=0
-
Уравнение (|x-1|)=6
- Уравнение z^3=i
-
Уравнение x+13/31=14/31
- Выразите {x} через y в уравнении:
- -7*x+2*y=-9
- -4*x-2*y=-8
- 3*x-2*y=8
- 2*x+9*y=13
- Интеграл d{x}:
-
z^3
- Производная:
-
z^3
-
Идентичные выражения
- z^ три =i
- z в кубе равно i
- z в степени три равно i
- z3=i
- z³=i
- z в степени 3=i
z^3=i уравнение
С верным решением ты станешь самым любимым в группе❤️😊
Решение
Подробное решение
Дано уравнение
$$z^{3} = i$$
Т.к. степень в уравнении равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
уравнение будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей уравнения:
Получим:
$$\sqrt[3]{\left(1 z + 0\right)^{3}} = \sqrt[3]{i}$$
или
$$z = \sqrt[3]{i}$$
Раскрываем скобочки в правой части уравнения
Получим ответ: z = i^(1/3)
Остальные 3 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$w = z$$
тогда уравнение будет таким:
$$w^{3} = i$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$w = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = i$$
где
$$r = 1$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = i$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = i$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = 0$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = 1$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3} + \frac{\pi}{6}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
Значит, решением будет для w:
$$w_{1} = - i$$
$$w_{2} = - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}$$
$$w_{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}$$
делаем обратную замену
$$w = z$$
$$z = w$$
Тогда, окончательный ответ:
$$z_{1} = - i$$
$$z_{2} = - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}$$
$$z_{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}$$
$$z^{3} = i$$
Т.к. степень в уравнении равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
уравнение будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей уравнения:
Получим:
$$\sqrt[3]{\left(1 z + 0\right)^{3}} = \sqrt[3]{i}$$
или
$$z = \sqrt[3]{i}$$
Раскрываем скобочки в правой части уравнения
z = i^1/3
Получим ответ: z = i^(1/3)
Остальные 3 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$w = z$$
тогда уравнение будет таким:
$$w^{3} = i$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$w = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = i$$
где
$$r = 1$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = i$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = i$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = 0$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = 1$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3} + \frac{\pi}{6}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
Значит, решением будет для w:
$$w_{1} = - i$$
$$w_{2} = - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}$$
$$w_{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}$$
делаем обратную замену
$$w = z$$
$$z = w$$
Тогда, окончательный ответ:
$$z_{1} = - i$$
$$z_{2} = - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}$$
$$z_{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}$$
Теорема Виета
это приведённое кубическое уравнение
$$p z^{2} + z^{3} + q z + v = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = - i$$
Формулы Виета
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = - p$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = q$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = v$$
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = - i$$
$$p z^{2} + z^{3} + q z + v = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = - i$$
Формулы Виета
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = - p$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = q$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = v$$
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = - i$$
График
Сумма и произведение корней
[src]
сумма
___ ___
I \/ 3 I \/ 3
-I + - - ----- + - + -----
2 2 2 2
$$\left(- i\right) + \left(- \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}\right)$$
=
0
$$0$$
произведение
___ ___
I \/ 3 I \/ 3
-I * - - ----- * - + -----
2 2 2 2
$$\left(- i\right) * \left(- \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}\right) * \left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}\right)$$
=
I
$$i$$
Быстрый ответ
[src]
z_1 = -I
$$z_{1} = - i$$
___
I \/ 3
z_2 = - - -----
2 2
$$z_{2} = - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}$$
___
I \/ 3
z_3 = - + -----
2 2
$$z_{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}$$
Численный ответ
[src]
z1 = -0.866025403784439 + 0.5*i
z2 = -1.0*i
z3 = 0.866025403784439 + 0.5*i
z3 = 0.866025403784439 + 0.5*i