Господин Экзамен
z^3+1-i=0 уравнение
С верным решением ты станешь самым любимым в группе❤️😊
Решение
Подробное решение
Дано уравнение
$$z^{3} + 1 - i = 0$$
Т.к. степень в уравнении равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
уравнение будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей уравнения:
Получим:
$$\sqrt[3]{\left(1 z + 0\right)^{3}} = \sqrt[3]{-1 + i}$$
или
$$z = \sqrt[3]{-1 + i}$$
Раскрываем скобочки в правой части уравнения
Получим ответ: z = (-1 + i)^(1/3)
Остальные 3 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$w = z$$
тогда уравнение будет таким:
$$w^{3} = -1 + i$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$w = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = -1 + i$$
где
$$r = \sqrt[6]{2}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = \frac{\sqrt{2} \left(-1 + i\right)}{2}$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = \frac{\sqrt{2} \left(-1 + i\right)}{2}$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3} - \frac{\pi}{12}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
Значит, решением будет для w:
$$w_{1} = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2}$$
$$w_{2} = - \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{4}$$
$$w_{3} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{4}$$
делаем обратную замену
$$w = z$$
$$z = w$$
Тогда, окончательный ответ:
$$z_{1} = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2}$$
$$z_{2} = - \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{4}$$
$$z_{3} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{4}$$
$$z^{3} + 1 - i = 0$$
Т.к. степень в уравнении равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
уравнение будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей уравнения:
Получим:
$$\sqrt[3]{\left(1 z + 0\right)^{3}} = \sqrt[3]{-1 + i}$$
или
$$z = \sqrt[3]{-1 + i}$$
Раскрываем скобочки в правой части уравнения
z = -1+i^1/3
Получим ответ: z = (-1 + i)^(1/3)
Остальные 3 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$w = z$$
тогда уравнение будет таким:
$$w^{3} = -1 + i$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$w = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = -1 + i$$
где
$$r = \sqrt[6]{2}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = \frac{\sqrt{2} \left(-1 + i\right)}{2}$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = \frac{\sqrt{2} \left(-1 + i\right)}{2}$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3} - \frac{\pi}{12}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
Значит, решением будет для w:
$$w_{1} = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2}$$
$$w_{2} = - \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{4}$$
$$w_{3} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{4}$$
делаем обратную замену
$$w = z$$
$$z = w$$
Тогда, окончательный ответ:
$$z_{1} = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2}$$
$$z_{2} = - \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{4}$$
$$z_{3} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{4}$$
Теорема Виета
это приведённое кубическое уравнение
$$p z^{2} + z^{3} + q z + v = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = 1 - i$$
Формулы Виета
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = - p$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = q$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = v$$
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = 1 - i$$
$$p z^{2} + z^{3} + q z + v = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = 1 - i$$
Формулы Виета
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = - p$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = q$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = v$$
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = 1 - i$$
График
Сумма и произведение корней
[src]
сумма
2/3 2/3 2/3 / ___\ 2/3 / ___\ 2/3 / ___\ 2/3 / ___\ 2 I*2 2 *\-1 + \/ 3 / I*2 *\-1 - \/ 3 / 2 *\-1 - \/ 3 / I*2 *\-1 + \/ 3 / ---- + ------ + ----------------- + ------------------- + ----------------- + ------------------- 2 2 4 4 4 4
$$\left(\frac{2^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2}\right) + \left(\frac{2^{\frac{2}{3}} \left(-1 + \sqrt{3}\right)}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i \left(- \sqrt{3} - 1\right)}{4}\right) + \left(\frac{2^{\frac{2}{3}} \left(- \sqrt{3} - 1\right)}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i \left(-1 + \sqrt{3}\right)}{4}\right)$$
=
2/3 2/3 2/3 / ___\ 2/3 / ___\ 2/3 / ___\ 2/3 / ___\ 2 I*2 2 *\-1 + \/ 3 / 2 *\-1 - \/ 3 / I*2 *\-1 + \/ 3 / I*2 *\-1 - \/ 3 / ---- + ------ + ----------------- + ----------------- + ------------------- + ------------------- 2 2 4 4 4 4
$$\frac{2^{\frac{2}{3}} \left(- \sqrt{3} - 1\right)}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \left(-1 + \sqrt{3}\right)}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i \left(- \sqrt{3} - 1\right)}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i \left(-1 + \sqrt{3}\right)}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2}$$
произведение
2/3 2/3 2/3 / ___\ 2/3 / ___\ 2/3 / ___\ 2/3 / ___\ 2 I*2 2 *\-1 + \/ 3 / I*2 *\-1 - \/ 3 / 2 *\-1 - \/ 3 / I*2 *\-1 + \/ 3 / ---- + ------ * ----------------- + ------------------- * ----------------- + ------------------- 2 2 4 4 4 4
$$\left(\frac{2^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2}\right) * \left(\frac{2^{\frac{2}{3}} \left(-1 + \sqrt{3}\right)}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i \left(- \sqrt{3} - 1\right)}{4}\right) * \left(\frac{2^{\frac{2}{3}} \left(- \sqrt{3} - 1\right)}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i \left(-1 + \sqrt{3}\right)}{4}\right)$$
=
-1 + I
$$-1 + i$$
Быстрый ответ
[src]
2/3 2/3
2 I*2
z_1 = ---- + ------
2 2
$$z_{1} = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2}$$
2/3 / ___\ 2/3 / ___\
2 *\-1 + \/ 3 / I*2 *\-1 - \/ 3 /
z_2 = ----------------- + -------------------
4 4
$$z_{2} = \frac{2^{\frac{2}{3}} \left(-1 + \sqrt{3}\right)}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i \left(- \sqrt{3} - 1\right)}{4}$$
2/3 / ___\ 2/3 / ___\
2 *\-1 - \/ 3 / I*2 *\-1 + \/ 3 /
z_3 = ----------------- + -------------------
4 4
$$z_{3} = \frac{2^{\frac{2}{3}} \left(- \sqrt{3} - 1\right)}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i \left(-1 + \sqrt{3}\right)}{4}$$
Численный ответ
[src]
z1 = 0.290514555507251 - 1.08421508149135*i
z2 = 0.7937005259841 + 0.7937005259841*i
z3 = -1.08421508149135 + 0.290514555507251*i
z3 = -1.08421508149135 + 0.290514555507251*i