Господин Экзамен
Другие калькуляторы
-
Как пользоваться?
- Уравнение:
-
Уравнение х^2-8=(х-4)^2
-
Уравнение 5*x^2-16*x+3=0
-
Уравнение x+(|x|)=0
-
Уравнение 2*sin(x)+sqrt(3)=0
- Выразите {x} через y в уравнении:
- -4*x-2*y=-8
- 2*x+9*y=13
- 3*x-2*y=8
- 5*x-7*y=-11
-
Идентичные выражения
- z^ шесть - один = ноль
- z в степени 6 минус 1 равно 0
- z в степени шесть минус один равно ноль
- z6-1=0
- z⁶-1=0
- z^6-1=O
-
Похожие выражения
- z^6+1=0
z^6-1=0 уравнение
С верным решением ты станешь самым любимым в группе❤️😊
Решение
Подробное решение
Дано уравнение
$$z^{6} - 1 = 0$$
Т.к. степень в уравнении равна = 6 - содержит чётное число 6 в числителе, то
уравнение будет иметь два действительных корня.
Извлечём корень 6-й степени из обеих частей уравнения:
Получим:
$$\sqrt[6]{\left(1 z + 0\right)^{6}} = 1$$
$$\sqrt[6]{\left(1 z + 0\right)^{6}} = -1$$
или
$$z = 1$$
$$z = -1$$
Получим ответ: z = 1
Получим ответ: z = -1
или
$$z_{1} = -1$$
$$z_{2} = 1$$
Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$w = z$$
тогда уравнение будет таким:
$$w^{6} = 1$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$w = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{6} e^{6 i p} = 1$$
где
$$r = 1$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{6 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(6 p \right)} + \cos{\left(6 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(6 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(6 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
Значит, решением будет для w:
$$w_{1} = -1$$
$$w_{2} = 1$$
$$w_{3} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$w_{4} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$w_{5} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$w_{6} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$w = z$$
$$z = w$$
Тогда, окончательный ответ:
$$z_{1} = -1$$
$$z_{2} = 1$$
$$z_{3} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{4} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{5} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{6} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$z^{6} - 1 = 0$$
Т.к. степень в уравнении равна = 6 - содержит чётное число 6 в числителе, то
уравнение будет иметь два действительных корня.
Извлечём корень 6-й степени из обеих частей уравнения:
Получим:
$$\sqrt[6]{\left(1 z + 0\right)^{6}} = 1$$
$$\sqrt[6]{\left(1 z + 0\right)^{6}} = -1$$
или
$$z = 1$$
$$z = -1$$
Получим ответ: z = 1
Получим ответ: z = -1
или
$$z_{1} = -1$$
$$z_{2} = 1$$
Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$w = z$$
тогда уравнение будет таким:
$$w^{6} = 1$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$w = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{6} e^{6 i p} = 1$$
где
$$r = 1$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{6 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(6 p \right)} + \cos{\left(6 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(6 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(6 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
Значит, решением будет для w:
$$w_{1} = -1$$
$$w_{2} = 1$$
$$w_{3} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$w_{4} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$w_{5} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$w_{6} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$w = z$$
$$z = w$$
Тогда, окончательный ответ:
$$z_{1} = -1$$
$$z_{2} = 1$$
$$z_{3} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{4} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{5} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{6} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
Сумма и произведение корней
[src]
сумма
___ ___ ___ ___
1 I*\/ 3 1 I*\/ 3 1 I*\/ 3 1 I*\/ 3
-1 + 1 + - - - ------- + - - + ------- + - - ------- + - + -------
2 2 2 2 2 2 2 2
$$\left(-1\right) + \left(1\right) + \left(- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) + \left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)$$
=
0
$$0$$
произведение
___ ___ ___ ___
1 I*\/ 3 1 I*\/ 3 1 I*\/ 3 1 I*\/ 3
-1 * 1 * - - - ------- * - - + ------- * - - ------- * - + -------
2 2 2 2 2 2 2 2
$$\left(-1\right) * \left(1\right) * \left(- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) * \left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) * \left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) * \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)$$
=
-1
$$-1$$
Быстрый ответ
[src]
z_1 = -1
$$z_{1} = -1$$
z_2 = 1
$$z_{2} = 1$$
___
1 I*\/ 3
z_3 = - - - -------
2 2
$$z_{3} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
___
1 I*\/ 3
z_4 = - - + -------
2 2
$$z_{4} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
___
1 I*\/ 3
z_5 = - - -------
2 2
$$z_{5} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
___
1 I*\/ 3
z_6 = - + -------
2 2
$$z_{6} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
Численный ответ
[src]
z1 = -0.5 + 0.866025403784439*i
z2 = 0.5 - 0.866025403784439*i
z3 = 1.0
z4 = 0.5 + 0.866025403784439*i
z5 = -0.5 - 0.866025403784439*i
z6 = -1.0
z6 = -1.0
График