Господин Экзамен
Другие калькуляторы
-
Как пользоваться?
- Уравнение:
- Уравнение (|x-3|)=4
- Уравнение 6х-3х+1=8
- Уравнение √х=25
- Уравнение 0,5х=-2,5.
- Выразите {x} через y в уравнении:
- 2*x+3*y=9
- -13*x-8*y=19
- 2*x+3*y=-5
- 2*x+14*y=0
-
Идентичные выражения
- z^ шесть + один = ноль
- z в степени 6 плюс 1 равно 0
- z в степени шесть плюс один равно ноль
- z6+1=0
- z⁶+1=0
- z^6+1=O
-
Похожие выражения
- z^6-1=0
z^6+1=0 уравнение
С верным решением ты станешь самым любимым в группе❤️😊
Решение
Подробное решение
Дано уравнение
$$z^{6} + 1 = 0$$
Т.к. степень в уравнении равна = 6 и свободный член = -1 < 0,
зн. действительных решений у соответствующего уравнения не существует
Остальные 6 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$w = z$$
тогда уравнение будет таким:
$$w^{6} = -1$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$w = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{6} e^{6 i p} = -1$$
где
$$r = 1$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{6 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(6 p \right)} + \cos{\left(6 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(6 p \right)} = -1$$
и
$$\sin{\left(6 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{3} + \frac{\pi}{6}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
Значит, решением будет для w:
$$w_{1} = - i$$
$$w_{2} = i$$
$$w_{3} = - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}$$
$$w_{4} = - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}$$
$$w_{5} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}$$
$$w_{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}$$
делаем обратную замену
$$w = z$$
$$z = w$$
Тогда, окончательный ответ:
$$z_{1} = - i$$
$$z_{2} = i$$
$$z_{3} = - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}$$
$$z_{4} = - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}$$
$$z_{5} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}$$
$$z_{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}$$
$$z^{6} + 1 = 0$$
Т.к. степень в уравнении равна = 6 и свободный член = -1 < 0,
зн. действительных решений у соответствующего уравнения не существует
Остальные 6 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$w = z$$
тогда уравнение будет таким:
$$w^{6} = -1$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$w = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{6} e^{6 i p} = -1$$
где
$$r = 1$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{6 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(6 p \right)} + \cos{\left(6 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(6 p \right)} = -1$$
и
$$\sin{\left(6 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{3} + \frac{\pi}{6}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
Значит, решением будет для w:
$$w_{1} = - i$$
$$w_{2} = i$$
$$w_{3} = - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}$$
$$w_{4} = - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}$$
$$w_{5} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}$$
$$w_{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}$$
делаем обратную замену
$$w = z$$
$$z = w$$
Тогда, окончательный ответ:
$$z_{1} = - i$$
$$z_{2} = i$$
$$z_{3} = - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}$$
$$z_{4} = - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}$$
$$z_{5} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}$$
$$z_{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}$$
Быстрый ответ
[src]
z_1 = -I
$$z_{1} = - i$$
z_2 = I
$$z_{2} = i$$
___
I \/ 3
z_3 = - - - -----
2 2
$$z_{3} = - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}$$
___
I \/ 3
z_4 = - - -----
2 2
$$z_{4} = - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}$$
___
\/ 3 I
z_5 = ----- - -
2 2
$$z_{5} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}$$
___
I \/ 3
z_6 = - + -----
2 2
$$z_{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}$$
Сумма и произведение корней
[src]
сумма
___ ___ ___ ___
I \/ 3 I \/ 3 \/ 3 I I \/ 3
-I + I + - - - ----- + - - ----- + ----- - - + - + -----
2 2 2 2 2 2 2 2
$$\left(- i\right) + \left(i\right) + \left(- \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}\right) + \left(- \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}\right)$$
=
0
$$0$$
произведение
___ ___ ___ ___
I \/ 3 I \/ 3 \/ 3 I I \/ 3
-I * I * - - - ----- * - - ----- * ----- - - * - + -----
2 2 2 2 2 2 2 2
$$\left(- i\right) * \left(i\right) * \left(- \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}\right) * \left(- \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}\right) * \left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}\right) * \left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}\right)$$
=
1
$$1$$
Численный ответ
[src]
z1 = 0.866025403784439 + 0.5*i
z2 = 1.0*i
z3 = -1.0*i
z4 = 0.866025403784439 - 0.5*i
z5 = -0.866025403784439 - 0.5*i
z6 = -0.866025403784439 + 0.5*i
z6 = -0.866025403784439 + 0.5*i
График