Господин Экзамен
Другие калькуляторы
-
Как пользоваться?
- Уравнение:
-
Уравнение 4-(x/7)=x/9
-
Уравнение x^8-1=0
-
Уравнение x^2-10*x+9=0
-
Уравнение 5x^2-10x=0
- Выразите {x} через y в уравнении:
- 5*x+3*y=0
- 4*x-4*y=12
- -4*x-3*y=-5
- 3*x-9*y=18
- Разложить многочлен на множители:
- x^8-1
- Производная:
- x^8-1
-
Идентичные выражения
- x^ восемь - один = ноль
- x в степени 8 минус 1 равно 0
- x в степени восемь минус один равно ноль
- x8-1=0
- x⁸-1=0
- x^8-1=O
-
Похожие выражения
- x^8+1=0
x^8-1=0 уравнение
С верным решением ты станешь самым любимым в группе❤️😊
Решение
Подробное решение
Дано уравнение
$$x^{8} - 1 = 0$$
Т.к. степень в уравнении равна = 8 - содержит чётное число 8 в числителе, то
уравнение будет иметь два действительных корня.
Извлечём корень 8-й степени из обеих частей уравнения:
Получим:
$$\sqrt[8]{\left(1 x + 0\right)^{8}} = 1$$
$$\sqrt[8]{\left(1 x + 0\right)^{8}} = -1$$
или
$$x = 1$$
$$x = -1$$
Получим ответ: x = 1
Получим ответ: x = -1
или
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Остальные 6 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда уравнение будет таким:
$$z^{8} = 1$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{8} e^{8 i p} = 1$$
где
$$r = 1$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{8 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(8 p \right)} + \cos{\left(8 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(8 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(8 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{4}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = -1$$
$$z_{2} = 1$$
$$z_{3} = - i$$
$$z_{4} = i$$
$$z_{5} = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$z_{6} = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$z_{7} = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$z_{8} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$
Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = - i$$
$$x_{4} = i$$
$$x_{5} = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$x_{6} = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$x_{7} = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$x_{8} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$x^{8} - 1 = 0$$
Т.к. степень в уравнении равна = 8 - содержит чётное число 8 в числителе, то
уравнение будет иметь два действительных корня.
Извлечём корень 8-й степени из обеих частей уравнения:
Получим:
$$\sqrt[8]{\left(1 x + 0\right)^{8}} = 1$$
$$\sqrt[8]{\left(1 x + 0\right)^{8}} = -1$$
или
$$x = 1$$
$$x = -1$$
Получим ответ: x = 1
Получим ответ: x = -1
или
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Остальные 6 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда уравнение будет таким:
$$z^{8} = 1$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{8} e^{8 i p} = 1$$
где
$$r = 1$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{8 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(8 p \right)} + \cos{\left(8 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(8 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(8 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{4}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = -1$$
$$z_{2} = 1$$
$$z_{3} = - i$$
$$z_{4} = i$$
$$z_{5} = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$z_{6} = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$z_{7} = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$z_{8} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$
Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = - i$$
$$x_{4} = i$$
$$x_{5} = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$x_{6} = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$x_{7} = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
$$x_{8} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
Быстрый ответ
[src]
x_1 = -1
$$x_{1} = -1$$
x_2 = 1
$$x_{2} = 1$$
x_3 = -I
$$x_{3} = - i$$
x_4 = I
$$x_{4} = i$$
___ ___
\/ 2 I*\/ 2
x_5 = - ----- - -------
2 2
$$x_{5} = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
___ ___
\/ 2 I*\/ 2
x_6 = - ----- + -------
2 2
$$x_{6} = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
___ ___
\/ 2 I*\/ 2
x_7 = ----- - -------
2 2
$$x_{7} = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
___ ___
\/ 2 I*\/ 2
x_8 = ----- + -------
2 2
$$x_{8} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$
Сумма и произведение корней
[src]
сумма
___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___
\/ 2 I*\/ 2 \/ 2 I*\/ 2 \/ 2 I*\/ 2 \/ 2 I*\/ 2
-1 + 1 + -I + I + - ----- - ------- + - ----- + ------- + ----- - ------- + ----- + -------
2 2 2 2 2 2 2 2
$$\left(-1\right) + \left(1\right) + \left(- i\right) + \left(i\right) + \left(- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}\right) + \left(- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}\right)$$
=
0
$$0$$
произведение
___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___
\/ 2 I*\/ 2 \/ 2 I*\/ 2 \/ 2 I*\/ 2 \/ 2 I*\/ 2
-1 * 1 * -I * I * - ----- - ------- * - ----- + ------- * ----- - ------- * ----- + -------
2 2 2 2 2 2 2 2
$$\left(-1\right) * \left(1\right) * \left(- i\right) * \left(i\right) * \left(- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}\right) * \left(- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}\right) * \left(\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2}\right) * \left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}\right)$$
=
-1
$$-1$$
Численный ответ
[src]
x1 = 1.0*i
x2 = 1.0
x3 = -0.707106781186548 + 0.707106781186548*i
x4 = 0.707106781186548 + 0.707106781186548*i
x5 = -1.0*i
x6 = 0.707106781186548 - 0.707106781186548*i
x7 = -0.707106781186548 - 0.707106781186548*i
x8 = -1.0
x8 = -1.0
График