Господин Экзамен
Другие калькуляторы
-
Как пользоваться?
- Уравнение:
-
Уравнение x^3=5
-
Уравнение x^4=1
-
Уравнение 2x^2+3x-5=0
-
Уравнение (х-2)^2+(х-3)^2=2х^2
- Выразите {x} через y в уравнении:
- 16*x-4*y=12
- 2*x-20*y=0
- 5*x+2*y=12
- 8*x-4*y=12
- Интеграл d{x}:
-
x^3
- График функции y =:
-
x^3
- Производная:
-
x^3
-
Идентичные выражения
- x^ три = пять
- x в кубе равно 5
- x в степени три равно пять
- x3=5
- x³=5
- x в степени 3=5
x^3=5 уравнение
С верным решением ты станешь самым любимым в группе❤️😊
Решение
Подробное решение
Дано уравнение
$$x^{3} = 5$$
Т.к. степень в уравнении равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
уравнение будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей уравнения:
Получим:
$$\sqrt[3]{\left(1 x + 0\right)^{3}} = \sqrt[3]{5}$$
или
$$x = \sqrt[3]{5}$$
Раскрываем скобочки в правой части уравнения
Получим ответ: x = 5^(1/3)
Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда уравнение будет таким:
$$z^{3} = 5$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = 5$$
где
$$r = \sqrt[3]{5}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = \sqrt[3]{5}$$
$$z_{2} = - \frac{\sqrt[3]{5}}{2} - \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{5} i}{2}$$
$$z_{3} = - \frac{\sqrt[3]{5}}{2} + \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{5} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$
Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = \sqrt[3]{5}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt[3]{5}}{2} - \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{5} i}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{\sqrt[3]{5}}{2} + \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{5} i}{2}$$
$$x^{3} = 5$$
Т.к. степень в уравнении равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
уравнение будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей уравнения:
Получим:
$$\sqrt[3]{\left(1 x + 0\right)^{3}} = \sqrt[3]{5}$$
или
$$x = \sqrt[3]{5}$$
Раскрываем скобочки в правой части уравнения
x = 5^1/3
Получим ответ: x = 5^(1/3)
Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда уравнение будет таким:
$$z^{3} = 5$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = 5$$
где
$$r = \sqrt[3]{5}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = \sqrt[3]{5}$$
$$z_{2} = - \frac{\sqrt[3]{5}}{2} - \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{5} i}{2}$$
$$z_{3} = - \frac{\sqrt[3]{5}}{2} + \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{5} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$
Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = \sqrt[3]{5}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt[3]{5}}{2} - \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{5} i}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{\sqrt[3]{5}}{2} + \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{5} i}{2}$$
Теорема Виета
это приведённое кубическое уравнение
$$p x^{2} + x^{3} + q x + v = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = -5$$
Формулы Виета
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = - p$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = q$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = v$$
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = -5$$
$$p x^{2} + x^{3} + q x + v = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = -5$$
Формулы Виета
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = - p$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = q$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = v$$
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = -5$$
Быстрый ответ
[src]
3 ___ x_1 = \/ 5
$$x_{1} = \sqrt[3]{5}$$
3 ___ ___ 3 ___
\/ 5 I*\/ 3 *\/ 5
x_2 = - ----- - -------------
2 2
$$x_{2} = - \frac{\sqrt[3]{5}}{2} - \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{5} i}{2}$$
3 ___ ___ 3 ___
\/ 5 I*\/ 3 *\/ 5
x_3 = - ----- + -------------
2 2
$$x_{3} = - \frac{\sqrt[3]{5}}{2} + \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{5} i}{2}$$
Сумма и произведение корней
[src]
сумма
3 ___ ___ 3 ___ 3 ___ ___ 3 ___
3 ___ \/ 5 I*\/ 3 *\/ 5 \/ 5 I*\/ 3 *\/ 5
\/ 5 + - ----- - ------------- + - ----- + -------------
2 2 2 2
$$\left(\sqrt[3]{5}\right) + \left(- \frac{\sqrt[3]{5}}{2} - \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{5} i}{2}\right) + \left(- \frac{\sqrt[3]{5}}{2} + \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{5} i}{2}\right)$$
=
0
$$0$$
произведение
3 ___ ___ 3 ___ 3 ___ ___ 3 ___
3 ___ \/ 5 I*\/ 3 *\/ 5 \/ 5 I*\/ 3 *\/ 5
\/ 5 * - ----- - ------------- * - ----- + -------------
2 2 2 2
$$\left(\sqrt[3]{5}\right) * \left(- \frac{\sqrt[3]{5}}{2} - \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{5} i}{2}\right) * \left(- \frac{\sqrt[3]{5}}{2} + \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{5} i}{2}\right)$$
=
5
$$5$$
Численный ответ
[src]
x1 = -0.854987973338349 + 1.48088260968236*i
x2 = 1.7099759466767
x3 = -0.854987973338349 - 1.48088260968236*i
x3 = -0.854987973338349 - 1.48088260968236*i
График