Господин Экзамен

Другие калькуляторы


x^3+8=0

x^3+8=0 уравнение

С верным решением ты станешь самым любимым в группе❤️😊

v

Численное решение:

Искать численное решение на промежутке [, ]

Решение

Вы ввели [src]
 3        
x  + 8 = 0
$$x^{3} + 8 = 0$$
Подробное решение
Дано уравнение
$$x^{3} + 8 = 0$$
Т.к. степень в уравнении равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
уравнение будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей уравнения:
Получим:
$$\sqrt[3]{\left(1 x + 0\right)^{3}} = \sqrt[3]{-8}$$
или
$$x = 2 \sqrt[3]{-1}$$
Раскрываем скобочки в правой части уравнения
x = -2*1^1/3

Получим ответ: x = 2*(-1)^(1/3)

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда уравнение будет таким:
$$z^{3} = -8$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = -8$$
где
$$r = 2$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = -1$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3} + \frac{\pi}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = -2$$
$$z_{2} = 1 - \sqrt{3} i$$
$$z_{3} = 1 + \sqrt{3} i$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 1 - \sqrt{3} i$$
$$x_{3} = 1 + \sqrt{3} i$$
Теорема Виета
это приведённое кубическое уравнение
$$p x^{2} + x^{3} + q x + v = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = 8$$
Формулы Виета
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = - p$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = q$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = v$$
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = 8$$
График
Быстрый ответ [src]
x_1 = -2
$$x_{1} = -2$$
              ___
x_2 = 1 - I*\/ 3 
$$x_{2} = 1 - \sqrt{3} i$$
              ___
x_3 = 1 + I*\/ 3 
$$x_{3} = 1 + \sqrt{3} i$$
Сумма и произведение корней [src]
сумма
             ___           ___
-2 + 1 - I*\/ 3  + 1 + I*\/ 3 
$$\left(-2\right) + \left(1 - \sqrt{3} i\right) + \left(1 + \sqrt{3} i\right)$$
=
0
$$0$$
произведение
             ___           ___
-2 * 1 - I*\/ 3  * 1 + I*\/ 3 
$$\left(-2\right) * \left(1 - \sqrt{3} i\right) * \left(1 + \sqrt{3} i\right)$$
=
-8
$$-8$$
Численный ответ [src]
x1 = 1.0 + 1.73205080756888*i
x2 = 1.0 - 1.73205080756888*i
x3 = -2.0
x3 = -2.0
График
x^3+8=0 уравнение