Господин Экзамен
Другие калькуляторы
-
Как пользоваться?
- Уравнение:
-
Уравнение x^3+4=0
- Уравнение (x^2-25)^2+(x^2+2x-15)^2=0
-
Уравнение (x-5)^3=64
-
Уравнение x^2+x-6=0
- Выразите {x} через y в уравнении:
- 16*x-4*y=12
- 2*x-20*y=0
- 5*x+2*y=12
- 8*x-4*y=12
- График функции y =:
-
x^3+4
- Разложить многочлен на множители:
- x^3+4
- Производная:
-
x^3+4
-
Идентичные выражения
- x^ три + четыре = ноль
- x в кубе плюс 4 равно 0
- x в степени три плюс четыре равно ноль
- x3+4=0
- x³+4=0
- x в степени 3+4=0
- x^3+4=O
-
Похожие выражения
- x^3-4=0
x^3+4=0 уравнение
С верным решением ты станешь самым любимым в группе❤️😊
Решение
Подробное решение
Дано уравнение
$$x^{3} + 4 = 0$$
Т.к. степень в уравнении равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
уравнение будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей уравнения:
Получим:
$$\sqrt[3]{\left(1 x + 0\right)^{3}} = \sqrt[3]{-4}$$
или
$$x = \sqrt[3]{-1} \cdot 2^{\frac{2}{3}}$$
Раскрываем скобочки в правой части уравнения
Получим ответ: x = (-1)^(1/3)*2^(2/3)
Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда уравнение будет таким:
$$z^{3} = -4$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = -4$$
где
$$r = 2^{\frac{2}{3}}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = -1$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3} + \frac{\pi}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = - 2^{\frac{2}{3}}$$
$$z_{2} = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{3} = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$
Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = - 2^{\frac{2}{3}}$$
$$x_{2} = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{2}$$
$$x_{3} = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{2}$$
$$x^{3} + 4 = 0$$
Т.к. степень в уравнении равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
уравнение будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей уравнения:
Получим:
$$\sqrt[3]{\left(1 x + 0\right)^{3}} = \sqrt[3]{-4}$$
или
$$x = \sqrt[3]{-1} \cdot 2^{\frac{2}{3}}$$
Раскрываем скобочки в правой части уравнения
x = -1^1/3*2^2/3
Получим ответ: x = (-1)^(1/3)*2^(2/3)
Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда уравнение будет таким:
$$z^{3} = -4$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = -4$$
где
$$r = 2^{\frac{2}{3}}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = -1$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3} + \frac{\pi}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = - 2^{\frac{2}{3}}$$
$$z_{2} = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{3} = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$
Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = - 2^{\frac{2}{3}}$$
$$x_{2} = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{2}$$
$$x_{3} = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{2}$$
Теорема Виета
это приведённое кубическое уравнение
$$p x^{2} + x^{3} + q x + v = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = 4$$
Формулы Виета
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = - p$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = q$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = v$$
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = 4$$
$$p x^{2} + x^{3} + q x + v = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = 4$$
Формулы Виета
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = - p$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = q$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = v$$
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = 4$$
Сумма и произведение корней
[src]
сумма
2/3 2/3 ___ 2/3 2/3 ___
2/3 2 I*2 *\/ 3 2 I*2 *\/ 3
-2 + ---- - ------------ + ---- + ------------
2 2 2 2
$$\left(- 2^{\frac{2}{3}}\right) + \left(\frac{2^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{2}\right) + \left(\frac{2^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{2}\right)$$
=
0
$$0$$
произведение
2/3 2/3 ___ 2/3 2/3 ___
2/3 2 I*2 *\/ 3 2 I*2 *\/ 3
-2 * ---- - ------------ * ---- + ------------
2 2 2 2
$$\left(- 2^{\frac{2}{3}}\right) * \left(\frac{2^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{2}\right) * \left(\frac{2^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{2}\right)$$
=
-4
$$-4$$
Быстрый ответ
[src]
2/3 x_1 = -2
$$x_{1} = - 2^{\frac{2}{3}}$$
2/3 2/3 ___
2 I*2 *\/ 3
x_2 = ---- - ------------
2 2
$$x_{2} = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{2}$$
2/3 2/3 ___
2 I*2 *\/ 3
x_3 = ---- + ------------
2 2
$$x_{3} = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{2}$$
Численный ответ
[src]
x1 = -1.5874010519682
x2 = 0.7937005259841 - 1.3747296369986*i
x3 = 0.7937005259841 + 1.3747296369986*i
x3 = 0.7937005259841 + 1.3747296369986*i
График