Господин Экзамен
Другие калькуляторы
-
Как пользоваться?
- Уравнение:
-
Уравнение x^6=5
-
Уравнение (х-2)^2+(х-3)^2=2х^2
-
Уравнение х^3=4х^2+5х
-
Уравнение x^3=5
- Выразите {x} через y в уравнении:
- 16*x-4*y=12
- 2*x-20*y=0
- 5*x+2*y=12
- 8*x-4*y=12
- График функции y =:
-
x^6
- Производная:
-
x^6
- Интеграл d{x}:
-
x^6
-
Идентичные выражения
- x^ шесть = пять
- x в степени 6 равно 5
- x в степени шесть равно пять
- x6=5
- x⁶=5
x^6=5 уравнение
С верным решением ты станешь самым любимым в группе❤️😊
Решение
Подробное решение
Дано уравнение
$$x^{6} = 5$$
Т.к. степень в уравнении равна = 6 - содержит чётное число 6 в числителе, то
уравнение будет иметь два действительных корня.
Извлечём корень 6-й степени из обеих частей уравнения:
Получим:
$$\sqrt[6]{\left(1 x + 0\right)^{6}} = \sqrt[6]{5}$$
$$\sqrt[6]{\left(1 x + 0\right)^{6}} = - \sqrt[6]{5}$$
или
$$x = \sqrt[6]{5}$$
$$x = - \sqrt[6]{5}$$
Раскрываем скобочки в правой части уравнения
Получим ответ: x = 5^(1/6)
Раскрываем скобочки в правой части уравнения
Получим ответ: x = -5^(1/6)
или
$$x_{1} = - \sqrt[6]{5}$$
$$x_{2} = \sqrt[6]{5}$$
Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда уравнение будет таким:
$$z^{6} = 5$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{6} e^{6 i p} = 5$$
где
$$r = \sqrt[6]{5}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{6 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(6 p \right)} + \cos{\left(6 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(6 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(6 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = - \sqrt[6]{5}$$
$$z_{2} = \sqrt[6]{5}$$
$$z_{3} = - \frac{\sqrt[6]{5}}{2} - \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt[6]{5} i}{2}$$
$$z_{4} = - \frac{\sqrt[6]{5}}{2} + \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt[6]{5} i}{2}$$
$$z_{5} = \frac{\sqrt[6]{5}}{2} - \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt[6]{5} i}{2}$$
$$z_{6} = \frac{\sqrt[6]{5}}{2} + \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt[6]{5} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$
Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = - \sqrt[6]{5}$$
$$x_{2} = \sqrt[6]{5}$$
$$x_{3} = - \frac{\sqrt[6]{5}}{2} - \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt[6]{5} i}{2}$$
$$x_{4} = - \frac{\sqrt[6]{5}}{2} + \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt[6]{5} i}{2}$$
$$x_{5} = \frac{\sqrt[6]{5}}{2} - \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt[6]{5} i}{2}$$
$$x_{6} = \frac{\sqrt[6]{5}}{2} + \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt[6]{5} i}{2}$$
$$x^{6} = 5$$
Т.к. степень в уравнении равна = 6 - содержит чётное число 6 в числителе, то
уравнение будет иметь два действительных корня.
Извлечём корень 6-й степени из обеих частей уравнения:
Получим:
$$\sqrt[6]{\left(1 x + 0\right)^{6}} = \sqrt[6]{5}$$
$$\sqrt[6]{\left(1 x + 0\right)^{6}} = - \sqrt[6]{5}$$
или
$$x = \sqrt[6]{5}$$
$$x = - \sqrt[6]{5}$$
Раскрываем скобочки в правой части уравнения
x = 5^1/6
Получим ответ: x = 5^(1/6)
Раскрываем скобочки в правой части уравнения
x = -5^1/6
Получим ответ: x = -5^(1/6)
или
$$x_{1} = - \sqrt[6]{5}$$
$$x_{2} = \sqrt[6]{5}$$
Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда уравнение будет таким:
$$z^{6} = 5$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{6} e^{6 i p} = 5$$
где
$$r = \sqrt[6]{5}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{6 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(6 p \right)} + \cos{\left(6 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(6 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(6 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = - \sqrt[6]{5}$$
$$z_{2} = \sqrt[6]{5}$$
$$z_{3} = - \frac{\sqrt[6]{5}}{2} - \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt[6]{5} i}{2}$$
$$z_{4} = - \frac{\sqrt[6]{5}}{2} + \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt[6]{5} i}{2}$$
$$z_{5} = \frac{\sqrt[6]{5}}{2} - \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt[6]{5} i}{2}$$
$$z_{6} = \frac{\sqrt[6]{5}}{2} + \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt[6]{5} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$
Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = - \sqrt[6]{5}$$
$$x_{2} = \sqrt[6]{5}$$
$$x_{3} = - \frac{\sqrt[6]{5}}{2} - \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt[6]{5} i}{2}$$
$$x_{4} = - \frac{\sqrt[6]{5}}{2} + \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt[6]{5} i}{2}$$
$$x_{5} = \frac{\sqrt[6]{5}}{2} - \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt[6]{5} i}{2}$$
$$x_{6} = \frac{\sqrt[6]{5}}{2} + \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt[6]{5} i}{2}$$
Сумма и произведение корней
[src]
сумма
6 ___ ___ 6 ___ 6 ___ ___ 6 ___ 6 ___ ___ 6 ___ 6 ___ ___ 6 ___
6 ___ 6 ___ \/ 5 I*\/ 3 *\/ 5 \/ 5 I*\/ 3 *\/ 5 \/ 5 I*\/ 3 *\/ 5 \/ 5 I*\/ 3 *\/ 5
-\/ 5 + \/ 5 + - ----- - ------------- + - ----- + ------------- + ----- - ------------- + ----- + -------------
2 2 2 2 2 2 2 2
$$\left(- \sqrt[6]{5}\right) + \left(\sqrt[6]{5}\right) + \left(- \frac{\sqrt[6]{5}}{2} - \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt[6]{5} i}{2}\right) + \left(- \frac{\sqrt[6]{5}}{2} + \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt[6]{5} i}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt[6]{5}}{2} - \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt[6]{5} i}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt[6]{5}}{2} + \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt[6]{5} i}{2}\right)$$
=
0
$$0$$
произведение
6 ___ ___ 6 ___ 6 ___ ___ 6 ___ 6 ___ ___ 6 ___ 6 ___ ___ 6 ___
6 ___ 6 ___ \/ 5 I*\/ 3 *\/ 5 \/ 5 I*\/ 3 *\/ 5 \/ 5 I*\/ 3 *\/ 5 \/ 5 I*\/ 3 *\/ 5
-\/ 5 * \/ 5 * - ----- - ------------- * - ----- + ------------- * ----- - ------------- * ----- + -------------
2 2 2 2 2 2 2 2
$$\left(- \sqrt[6]{5}\right) * \left(\sqrt[6]{5}\right) * \left(- \frac{\sqrt[6]{5}}{2} - \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt[6]{5} i}{2}\right) * \left(- \frac{\sqrt[6]{5}}{2} + \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt[6]{5} i}{2}\right) * \left(\frac{\sqrt[6]{5}}{2} - \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt[6]{5} i}{2}\right) * \left(\frac{\sqrt[6]{5}}{2} + \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt[6]{5} i}{2}\right)$$
=
-5
$$-5$$
Быстрый ответ
[src]
6 ___ x_1 = -\/ 5
$$x_{1} = - \sqrt[6]{5}$$
6 ___ x_2 = \/ 5
$$x_{2} = \sqrt[6]{5}$$
6 ___ ___ 6 ___
\/ 5 I*\/ 3 *\/ 5
x_3 = - ----- - -------------
2 2
$$x_{3} = - \frac{\sqrt[6]{5}}{2} - \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt[6]{5} i}{2}$$
6 ___ ___ 6 ___
\/ 5 I*\/ 3 *\/ 5
x_4 = - ----- + -------------
2 2
$$x_{4} = - \frac{\sqrt[6]{5}}{2} + \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt[6]{5} i}{2}$$
6 ___ ___ 6 ___
\/ 5 I*\/ 3 *\/ 5
x_5 = ----- - -------------
2 2
$$x_{5} = \frac{\sqrt[6]{5}}{2} - \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt[6]{5} i}{2}$$
6 ___ ___ 6 ___
\/ 5 I*\/ 3 *\/ 5
x_6 = ----- + -------------
2 2
$$x_{6} = \frac{\sqrt[6]{5}}{2} + \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt[6]{5} i}{2}$$
Численный ответ
[src]
x1 = 0.653830243005915 + 1.13246720041135*i
x2 = -1.30766048601183
x3 = 1.30766048601183
x4 = -0.653830243005915 - 1.13246720041135*i
x5 = 0.653830243005915 - 1.13246720041135*i
x6 = -0.653830243005915 + 1.13246720041135*i
x6 = -0.653830243005915 + 1.13246720041135*i
График