x^6-2=0 уравнение

Дано уравнение
$$x^{6} - 2 = 0$$
Т.к. степень в уравнении равна = 6 - содержит чётное число 6 в числителе, то
уравнение будет иметь два действительных корня.
Извлечём корень 6-й степени из обеих частей уравнения:
Получим:
$$\sqrt[6]{\left(1 x + 0\right)^{6}} = \sqrt[6]{2}$$
$$\sqrt[6]{\left(1 x + 0\right)^{6}} = - \sqrt[6]{2}$$
или
$$x = \sqrt[6]{2}$$
$$x = - \sqrt[6]{2}$$
Раскрываем скобочки в правой части уравнения

x = 2^1/6

Получим ответ: x = 2^(1/6)
Раскрываем скобочки в правой части уравнения

x = -2^1/6

Получим ответ: x = -2^(1/6)
или
$$x_{1} = - \sqrt[6]{2}$$
$$x_{2} = \sqrt[6]{2}$$

Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда уравнение будет таким:
$$z^{6} = 2$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{6} e^{6 i p} = 2$$
где
$$r = \sqrt[6]{2}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{6 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(6 p \right)} + \cos{\left(6 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(6 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(6 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = - \sqrt[6]{2}$$
$$z_{2} = \sqrt[6]{2}$$
$$z_{3} = - \frac{\sqrt[6]{2}}{2} - \frac{\sqrt[6]{2} \sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{4} = - \frac{\sqrt[6]{2}}{2} + \frac{\sqrt[6]{2} \sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{5} = \frac{\sqrt[6]{2}}{2} - \frac{\sqrt[6]{2} \sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{6} = \frac{\sqrt[6]{2}}{2} + \frac{\sqrt[6]{2} \sqrt{3} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = - \sqrt[6]{2}$$
$$x_{2} = \sqrt[6]{2}$$
$$x_{3} = - \frac{\sqrt[6]{2}}{2} - \frac{\sqrt[6]{2} \sqrt{3} i}{2}$$
$$x_{4} = - \frac{\sqrt[6]{2}}{2} + \frac{\sqrt[6]{2} \sqrt{3} i}{2}$$
$$x_{5} = \frac{\sqrt[6]{2}}{2} - \frac{\sqrt[6]{2} \sqrt{3} i}{2}$$
$$x_{6} = \frac{\sqrt[6]{2}}{2} + \frac{\sqrt[6]{2} \sqrt{3} i}{2}$$