Господин Экзамен
Другие калькуляторы
-
Как пользоваться?
- Уравнение:
- Уравнение 12/x+10=13
- Уравнение x^2-12x+20=0
- Уравнение (6x-12)(0,5x-4)=0
- Уравнение 500+(х+140)=2056
- Выразите {x} через y в уравнении:
- 15*x-14*y=0
- 3*x+7*y=4
- -12*x+4*y=-4
- 2*x+5*y=13
- Разложить многочлен на множители:
- x^6+2
-
Идентичные выражения
- x^ шесть + два = ноль
- x в степени 6 плюс 2 равно 0
- x в степени шесть плюс два равно ноль
- x6+2=0
- x⁶+2=0
- x^6+2=O
-
Похожие выражения
- x^6-2=0
x^6+2=0 уравнение
С верным решением ты станешь самым любимым в группе❤️😊
Решение
Подробное решение
Дано уравнение
$$x^{6} + 2 = 0$$
Т.к. степень в уравнении равна = 6 и свободный член = -2 < 0,
зн. действительных решений у соответствующего уравнения не существует
Остальные 6 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда уравнение будет таким:
$$z^{6} = -2$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{6} e^{6 i p} = -2$$
где
$$r = \sqrt[6]{2}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{6 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(6 p \right)} + \cos{\left(6 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(6 p \right)} = -1$$
и
$$\sin{\left(6 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{3} + \frac{\pi}{6}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = - \sqrt[6]{2} i$$
$$z_{2} = \sqrt[6]{2} i$$
$$z_{3} = - \frac{\sqrt[6]{2} \sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt[6]{2} i}{2}$$
$$z_{4} = - \frac{\sqrt[6]{2} \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt[6]{2} i}{2}$$
$$z_{5} = \frac{\sqrt[6]{2} \sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt[6]{2} i}{2}$$
$$z_{6} = \frac{\sqrt[6]{2} \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt[6]{2} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$
Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = - \sqrt[6]{2} i$$
$$x_{2} = \sqrt[6]{2} i$$
$$x_{3} = - \frac{\sqrt[6]{2} \sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt[6]{2} i}{2}$$
$$x_{4} = - \frac{\sqrt[6]{2} \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt[6]{2} i}{2}$$
$$x_{5} = \frac{\sqrt[6]{2} \sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt[6]{2} i}{2}$$
$$x_{6} = \frac{\sqrt[6]{2} \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt[6]{2} i}{2}$$
$$x^{6} + 2 = 0$$
Т.к. степень в уравнении равна = 6 и свободный член = -2 < 0,
зн. действительных решений у соответствующего уравнения не существует
Остальные 6 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда уравнение будет таким:
$$z^{6} = -2$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{6} e^{6 i p} = -2$$
где
$$r = \sqrt[6]{2}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{6 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(6 p \right)} + \cos{\left(6 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(6 p \right)} = -1$$
и
$$\sin{\left(6 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{3} + \frac{\pi}{6}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = - \sqrt[6]{2} i$$
$$z_{2} = \sqrt[6]{2} i$$
$$z_{3} = - \frac{\sqrt[6]{2} \sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt[6]{2} i}{2}$$
$$z_{4} = - \frac{\sqrt[6]{2} \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt[6]{2} i}{2}$$
$$z_{5} = \frac{\sqrt[6]{2} \sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt[6]{2} i}{2}$$
$$z_{6} = \frac{\sqrt[6]{2} \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt[6]{2} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$
Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = - \sqrt[6]{2} i$$
$$x_{2} = \sqrt[6]{2} i$$
$$x_{3} = - \frac{\sqrt[6]{2} \sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt[6]{2} i}{2}$$
$$x_{4} = - \frac{\sqrt[6]{2} \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt[6]{2} i}{2}$$
$$x_{5} = \frac{\sqrt[6]{2} \sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt[6]{2} i}{2}$$
$$x_{6} = \frac{\sqrt[6]{2} \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt[6]{2} i}{2}$$
Быстрый ответ
[src]
6 ___ x_1 = -I*\/ 2
$$x_{1} = - \sqrt[6]{2} i$$
6 ___ x_2 = I*\/ 2
$$x_{2} = \sqrt[6]{2} i$$
6 ___ 6 ___ ___
I*\/ 2 \/ 2 *\/ 3
x_3 = - ------- - -----------
2 2
$$x_{3} = - \frac{\sqrt[6]{2} \sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt[6]{2} i}{2}$$
6 ___ 6 ___ ___
I*\/ 2 \/ 2 *\/ 3
x_4 = ------- - -----------
2 2
$$x_{4} = - \frac{\sqrt[6]{2} \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt[6]{2} i}{2}$$
6 ___ ___ 6 ___
\/ 2 *\/ 3 I*\/ 2
x_5 = ----------- - -------
2 2
$$x_{5} = \frac{\sqrt[6]{2} \sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt[6]{2} i}{2}$$
6 ___ 6 ___ ___
I*\/ 2 \/ 2 *\/ 3
x_6 = ------- + -----------
2 2
$$x_{6} = \frac{\sqrt[6]{2} \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt[6]{2} i}{2}$$
Сумма и произведение корней
[src]
сумма
6 ___ 6 ___ ___ 6 ___ 6 ___ ___ 6 ___ ___ 6 ___ 6 ___ 6 ___ ___
6 ___ 6 ___ I*\/ 2 \/ 2 *\/ 3 I*\/ 2 \/ 2 *\/ 3 \/ 2 *\/ 3 I*\/ 2 I*\/ 2 \/ 2 *\/ 3
-I*\/ 2 + I*\/ 2 + - ------- - ----------- + ------- - ----------- + ----------- - ------- + ------- + -----------
2 2 2 2 2 2 2 2
$$\left(- \sqrt[6]{2} i\right) + \left(\sqrt[6]{2} i\right) + \left(- \frac{\sqrt[6]{2} \sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt[6]{2} i}{2}\right) + \left(- \frac{\sqrt[6]{2} \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt[6]{2} i}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt[6]{2} \sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt[6]{2} i}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt[6]{2} \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt[6]{2} i}{2}\right)$$
=
0
$$0$$
произведение
6 ___ 6 ___ ___ 6 ___ 6 ___ ___ 6 ___ ___ 6 ___ 6 ___ 6 ___ ___
6 ___ 6 ___ I*\/ 2 \/ 2 *\/ 3 I*\/ 2 \/ 2 *\/ 3 \/ 2 *\/ 3 I*\/ 2 I*\/ 2 \/ 2 *\/ 3
-I*\/ 2 * I*\/ 2 * - ------- - ----------- * ------- - ----------- * ----------- - ------- * ------- + -----------
2 2 2 2 2 2 2 2
$$\left(- \sqrt[6]{2} i\right) * \left(\sqrt[6]{2} i\right) * \left(- \frac{\sqrt[6]{2} \sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt[6]{2} i}{2}\right) * \left(- \frac{\sqrt[6]{2} \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt[6]{2} i}{2}\right) * \left(\frac{\sqrt[6]{2} \sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt[6]{2} i}{2}\right) * \left(\frac{\sqrt[6]{2} \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt[6]{2} i}{2}\right)$$
=
2
$$2$$
Численный ответ
[src]
x1 = 0.972080648619833 - 0.561231024154687*i
x2 = 1.12246204830937*i
x3 = -1.12246204830937*i
x4 = -0.972080648619833 + 0.561231024154687*i
x5 = -0.972080648619833 - 0.561231024154687*i
x6 = 0.972080648619833 + 0.561231024154687*i
x6 = 0.972080648619833 + 0.561231024154687*i
График