Господин Экзамен
Другие калькуляторы
-
Как пользоваться?
- Уравнение:
-
Уравнение x^3+3*x^2-6*x-8=0
-
Уравнение (x-5)^2=(5-x)^2
-
Уравнение x^5=8
-
Уравнение tg^2x+5tgx+6=0
- Выразите {x} через y в уравнении:
- -3*x-2*y=12
- -7*x+2*y=-9
- -4*x-2*y=-8
- 3*x-2*y=8
- График функции y =:
-
x^5
- Интеграл d{x}:
-
x^5
- Предел функции:
-
x^5
-
Идентичные выражения
- x^ пять = восемь
- x в степени 5 равно 8
- x в степени пять равно восемь
- x5=8
- x⁵=8
x^5=8 уравнение
С верным решением ты станешь самым любимым в группе❤️😊
Решение
Подробное решение
Дано уравнение
$$x^{5} = 8$$
Т.к. степень в уравнении равна = 5 - не содержит чётного числа в числителе, то
уравнение будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 5-й степени из обеих частей уравнения:
Получим:
$$\sqrt[5]{\left(1 x + 0\right)^{5}} = \sqrt[5]{8}$$
или
$$x = 2^{\frac{3}{5}}$$
Раскрываем скобочки в правой части уравнения
Получим ответ: x = 2^(3/5)
Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда уравнение будет таким:
$$z^{5} = 8$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{5} e^{5 i p} = 8$$
где
$$r = 2^{\frac{3}{5}}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{5 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(5 p \right)} + \cos{\left(5 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(5 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(5 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{5}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = 2^{\frac{3}{5}}$$
$$z_{2} = - \frac{2^{\frac{3}{5}}}{4} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5}}{4} - 2^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$z_{3} = - \frac{2^{\frac{3}{5}}}{4} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5}}{4} + 2^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$z_{4} = - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5}}{4} - \frac{2^{\frac{3}{5}}}{4} - 2^{\frac{3}{5}} i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$z_{5} = - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5}}{4} - \frac{2^{\frac{3}{5}}}{4} + 2^{\frac{3}{5}} i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$
Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = 2^{\frac{3}{5}}$$
$$x_{2} = - \frac{2^{\frac{3}{5}}}{4} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5}}{4} - 2^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$x_{3} = - \frac{2^{\frac{3}{5}}}{4} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5}}{4} + 2^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$x_{4} = - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5}}{4} - \frac{2^{\frac{3}{5}}}{4} - 2^{\frac{3}{5}} i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$x_{5} = - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5}}{4} - \frac{2^{\frac{3}{5}}}{4} + 2^{\frac{3}{5}} i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$x^{5} = 8$$
Т.к. степень в уравнении равна = 5 - не содержит чётного числа в числителе, то
уравнение будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 5-й степени из обеих частей уравнения:
Получим:
$$\sqrt[5]{\left(1 x + 0\right)^{5}} = \sqrt[5]{8}$$
или
$$x = 2^{\frac{3}{5}}$$
Раскрываем скобочки в правой части уравнения
x = 2^3/5
Получим ответ: x = 2^(3/5)
Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда уравнение будет таким:
$$z^{5} = 8$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{5} e^{5 i p} = 8$$
где
$$r = 2^{\frac{3}{5}}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{5 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(5 p \right)} + \cos{\left(5 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(5 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(5 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{5}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = 2^{\frac{3}{5}}$$
$$z_{2} = - \frac{2^{\frac{3}{5}}}{4} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5}}{4} - 2^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$z_{3} = - \frac{2^{\frac{3}{5}}}{4} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5}}{4} + 2^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$z_{4} = - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5}}{4} - \frac{2^{\frac{3}{5}}}{4} - 2^{\frac{3}{5}} i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$z_{5} = - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5}}{4} - \frac{2^{\frac{3}{5}}}{4} + 2^{\frac{3}{5}} i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$
Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = 2^{\frac{3}{5}}$$
$$x_{2} = - \frac{2^{\frac{3}{5}}}{4} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5}}{4} - 2^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$x_{3} = - \frac{2^{\frac{3}{5}}}{4} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5}}{4} + 2^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$x_{4} = - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5}}{4} - \frac{2^{\frac{3}{5}}}{4} - 2^{\frac{3}{5}} i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$x_{5} = - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5}}{4} - \frac{2^{\frac{3}{5}}}{4} + 2^{\frac{3}{5}} i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
Быстрый ответ
[src]
3/5 x_1 = 2
$$x_{1} = 2^{\frac{3}{5}}$$
___________
3/5 / ___\ 10___ / ___
2 *\-1 + \/ 5 / I*\/ 2 *\/ 5 + \/ 5
x_2 = ----------------- - ----------------------
4 2
$$x_{2} = \frac{2^{\frac{3}{5}} \left(-1 + \sqrt{5}\right)}{4} - \frac{\sqrt[10]{2} i \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{2}$$
___________
3/5 / ___\ 10___ / ___
2 *\-1 + \/ 5 / I*\/ 2 *\/ 5 + \/ 5
x_3 = ----------------- + ----------------------
4 2
$$x_{3} = \frac{2^{\frac{3}{5}} \left(-1 + \sqrt{5}\right)}{4} + \frac{\sqrt[10]{2} i \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{2}$$
___________
3/5 / ___\ 10___ / ___
2 *\-1 - \/ 5 / I*\/ 2 *\/ 5 - \/ 5
x_4 = ----------------- - ----------------------
4 2
$$x_{4} = \frac{2^{\frac{3}{5}} \left(- \sqrt{5} - 1\right)}{4} - \frac{\sqrt[10]{2} i \sqrt{- \sqrt{5} + 5}}{2}$$
___________
3/5 / ___\ 10___ / ___
2 *\-1 - \/ 5 / I*\/ 2 *\/ 5 - \/ 5
x_5 = ----------------- + ----------------------
4 2
$$x_{5} = \frac{2^{\frac{3}{5}} \left(- \sqrt{5} - 1\right)}{4} + \frac{\sqrt[10]{2} i \sqrt{- \sqrt{5} + 5}}{2}$$
Сумма и произведение корней
[src]
сумма
___________ ___________ ___________ ___________
3/5 / ___\ 10___ / ___ 3/5 / ___\ 10___ / ___ 3/5 / ___\ 10___ / ___ 3/5 / ___\ 10___ / ___
3/5 2 *\-1 + \/ 5 / I*\/ 2 *\/ 5 + \/ 5 2 *\-1 + \/ 5 / I*\/ 2 *\/ 5 + \/ 5 2 *\-1 - \/ 5 / I*\/ 2 *\/ 5 - \/ 5 2 *\-1 - \/ 5 / I*\/ 2 *\/ 5 - \/ 5
2 + ----------------- - ---------------------- + ----------------- + ---------------------- + ----------------- - ---------------------- + ----------------- + ----------------------
4 2 4 2 4 2 4 2
$$\left(2^{\frac{3}{5}}\right) + \left(\frac{2^{\frac{3}{5}} \left(-1 + \sqrt{5}\right)}{4} - \frac{\sqrt[10]{2} i \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{2}\right) + \left(\frac{2^{\frac{3}{5}} \left(-1 + \sqrt{5}\right)}{4} + \frac{\sqrt[10]{2} i \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{2}\right) + \left(\frac{2^{\frac{3}{5}} \left(- \sqrt{5} - 1\right)}{4} - \frac{\sqrt[10]{2} i \sqrt{- \sqrt{5} + 5}}{2}\right) + \left(\frac{2^{\frac{3}{5}} \left(- \sqrt{5} - 1\right)}{4} + \frac{\sqrt[10]{2} i \sqrt{- \sqrt{5} + 5}}{2}\right)$$
=
3/5 / ___\ 3/5 / ___\
3/5 2 *\-1 + \/ 5 / 2 *\-1 - \/ 5 /
2 + ----------------- + -----------------
2 2
$$\frac{2^{\frac{3}{5}} \left(- \sqrt{5} - 1\right)}{2} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \left(-1 + \sqrt{5}\right)}{2} + 2^{\frac{3}{5}}$$
произведение
___________ ___________ ___________ ___________
3/5 / ___\ 10___ / ___ 3/5 / ___\ 10___ / ___ 3/5 / ___\ 10___ / ___ 3/5 / ___\ 10___ / ___
3/5 2 *\-1 + \/ 5 / I*\/ 2 *\/ 5 + \/ 5 2 *\-1 + \/ 5 / I*\/ 2 *\/ 5 + \/ 5 2 *\-1 - \/ 5 / I*\/ 2 *\/ 5 - \/ 5 2 *\-1 - \/ 5 / I*\/ 2 *\/ 5 - \/ 5
2 * ----------------- - ---------------------- * ----------------- + ---------------------- * ----------------- - ---------------------- * ----------------- + ----------------------
4 2 4 2 4 2 4 2
$$\left(2^{\frac{3}{5}}\right) * \left(\frac{2^{\frac{3}{5}} \left(-1 + \sqrt{5}\right)}{4} - \frac{\sqrt[10]{2} i \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{2}\right) * \left(\frac{2^{\frac{3}{5}} \left(-1 + \sqrt{5}\right)}{4} + \frac{\sqrt[10]{2} i \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{2}\right) * \left(\frac{2^{\frac{3}{5}} \left(- \sqrt{5} - 1\right)}{4} - \frac{\sqrt[10]{2} i \sqrt{- \sqrt{5} + 5}}{2}\right) * \left(\frac{2^{\frac{3}{5}} \left(- \sqrt{5} - 1\right)}{4} + \frac{\sqrt[10]{2} i \sqrt{- \sqrt{5} + 5}}{2}\right)$$
=
8
$$8$$
Численный ответ
[src]
x1 = 0.468382177707358 - 1.44153211743623*i
x2 = 0.468382177707358 + 1.44153211743623*i
x3 = -1.22624046096256 + 0.890915844450195*i
x4 = 1.5157165665104
x5 = -1.22624046096256 - 0.890915844450195*i
x5 = -1.22624046096256 - 0.890915844450195*i
График