Господин Экзамен
Другие калькуляторы
-
Как пользоваться?
- Уравнение:
-
Уравнение 3х^2-5х-2=0
-
Уравнение 3^x=0
- Уравнение x^5-32=0
-
Уравнение x^2-13*x+5=0
- Выразите {x} через y в уравнении:
- 8*x-4*y=12
- 5*x+3*y=0
- 4*x-4*y=12
- -4*x-3*y=-5
- Разложить многочлен на множители:
- x^5-32
-
Идентичные выражения
- x^ пять - тридцать два = ноль
- x в степени 5 минус 32 равно 0
- x в степени пять минус тридцать два равно ноль
- x5-32=0
- x⁵-32=0
- x^5-32=O
-
Похожие выражения
- x^5+32=0
x^5-32=0 уравнение
С верным решением ты станешь самым любимым в группе❤️😊
Решение
Подробное решение
Дано уравнение
$$x^{5} - 32 = 0$$
Т.к. степень в уравнении равна = 5 - не содержит чётного числа в числителе, то
уравнение будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 5-й степени из обеих частей уравнения:
Получим:
$$\sqrt[5]{\left(1 x + 0\right)^{5}} = \sqrt[5]{32}$$
или
$$x = 2$$
Получим ответ: x = 2
Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда уравнение будет таким:
$$z^{5} = 32$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{5} e^{5 i p} = 32$$
где
$$r = 2$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{5 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(5 p \right)} + \cos{\left(5 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(5 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(5 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{5}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = 2$$
$$z_{2} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} - 2 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$z_{3} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + 2 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$z_{4} = - \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2} - 2 i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$z_{5} = - \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2} + 2 i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$
Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} - 2 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$x_{3} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + 2 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$x_{4} = - \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2} - 2 i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$x_{5} = - \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2} + 2 i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$x^{5} - 32 = 0$$
Т.к. степень в уравнении равна = 5 - не содержит чётного числа в числителе, то
уравнение будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 5-й степени из обеих частей уравнения:
Получим:
$$\sqrt[5]{\left(1 x + 0\right)^{5}} = \sqrt[5]{32}$$
или
$$x = 2$$
Получим ответ: x = 2
Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда уравнение будет таким:
$$z^{5} = 32$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{5} e^{5 i p} = 32$$
где
$$r = 2$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{5 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(5 p \right)} + \cos{\left(5 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(5 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(5 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{5}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = 2$$
$$z_{2} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} - 2 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$z_{3} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + 2 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$z_{4} = - \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2} - 2 i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$z_{5} = - \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2} + 2 i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$
Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} - 2 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$x_{3} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + 2 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$x_{4} = - \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2} - 2 i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$x_{5} = - \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2} + 2 i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
Быстрый ответ
[src]
x_1 = 2
$$x_{1} = 2$$
______________
___ / ___
1 \/ 5 I*\/ 10 + 2*\/ 5
x_2 = - - + ----- - -------------------
2 2 2
$$x_{2} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{i \sqrt{2 \sqrt{5} + 10}}{2}$$
______________
___ / ___
1 \/ 5 I*\/ 10 + 2*\/ 5
x_3 = - - + ----- + -------------------
2 2 2
$$x_{3} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{i \sqrt{2 \sqrt{5} + 10}}{2}$$
______________
___ / ___
1 \/ 5 I*\/ 10 - 2*\/ 5
x_4 = - - - ----- - -------------------
2 2 2
$$x_{4} = - \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2} - \frac{i \sqrt{- 2 \sqrt{5} + 10}}{2}$$
______________
___ / ___
1 \/ 5 I*\/ 10 - 2*\/ 5
x_5 = - - - ----- + -------------------
2 2 2
$$x_{5} = - \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{- 2 \sqrt{5} + 10}}{2}$$
Сумма и произведение корней
[src]
сумма
______________ ______________ ______________ ______________
___ / ___ ___ / ___ ___ / ___ ___ / ___
1 \/ 5 I*\/ 10 + 2*\/ 5 1 \/ 5 I*\/ 10 + 2*\/ 5 1 \/ 5 I*\/ 10 - 2*\/ 5 1 \/ 5 I*\/ 10 - 2*\/ 5
2 + - - + ----- - ------------------- + - - + ----- + ------------------- + - - - ----- - ------------------- + - - - ----- + -------------------
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
$$\left(2\right) + \left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{i \sqrt{2 \sqrt{5} + 10}}{2}\right) + \left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{i \sqrt{2 \sqrt{5} + 10}}{2}\right) + \left(- \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2} - \frac{i \sqrt{- 2 \sqrt{5} + 10}}{2}\right) + \left(- \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{- 2 \sqrt{5} + 10}}{2}\right)$$
=
0
$$0$$
произведение
______________ ______________ ______________ ______________
___ / ___ ___ / ___ ___ / ___ ___ / ___
1 \/ 5 I*\/ 10 + 2*\/ 5 1 \/ 5 I*\/ 10 + 2*\/ 5 1 \/ 5 I*\/ 10 - 2*\/ 5 1 \/ 5 I*\/ 10 - 2*\/ 5
2 * - - + ----- - ------------------- * - - + ----- + ------------------- * - - - ----- - ------------------- * - - - ----- + -------------------
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
$$\left(2\right) * \left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{i \sqrt{2 \sqrt{5} + 10}}{2}\right) * \left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{i \sqrt{2 \sqrt{5} + 10}}{2}\right) * \left(- \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2} - \frac{i \sqrt{- 2 \sqrt{5} + 10}}{2}\right) * \left(- \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{- 2 \sqrt{5} + 10}}{2}\right)$$
=
32
$$32$$
Численный ответ
[src]
x1 = -1.61803398874989 - 1.17557050458495*i
x2 = -1.61803398874989 + 1.17557050458495*i
x3 = 2.0
x4 = 0.618033988749895 + 1.90211303259031*i
x5 = 0.618033988749895 - 1.90211303259031*i
x5 = 0.618033988749895 - 1.90211303259031*i