Господин Экзамен
Другие калькуляторы
-
Как пользоваться?
- Уравнение:
-
Уравнение sin^2(x)-2sin(x)-3=0
-
Уравнение x-5/3-4=2*x/3
- Уравнение (x+y)^2+(x-3)^2=0
-
Уравнение x^9=1
- Выразите {x} через y в уравнении:
- 4*x-4*y=12
- -4*x-3*y=-5
- 3*x-9*y=18
- -3*x-2*y=12
- Производная:
-
x^9
- Интеграл d{x}:
-
x^9
- Предел функции:
-
x^9
-
Идентичные выражения
- x^ девять = один
- x в степени 9 равно 1
- x в степени девять равно один
- x9=1
- x⁹=1
-
Похожие выражения
- x^(9/10)=1
x^9=1 уравнение
С верным решением ты станешь самым любимым в группе❤️😊
Решение
Подробное решение
Дано уравнение
$$x^{9} = 1$$
Т.к. степень в уравнении равна = 9 - не содержит чётного числа в числителе, то
уравнение будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 9-й степени из обеих частей уравнения:
Получим:
$$\sqrt[9]{\left(1 x + 0\right)^{9}} = \sqrt[9]{1}$$
или
$$x = 1$$
Получим ответ: x = 1
Остальные 8 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда уравнение будет таким:
$$z^{9} = 1$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{9} e^{9 i p} = 1$$
где
$$r = 1$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{9 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(9 p \right)} + \cos{\left(9 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(9 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(9 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{9}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = 1$$
$$z_{2} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{3} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{4} = - \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} - i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}$$
$$z_{5} = - \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} + i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}$$
$$z_{6} = \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} - i \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}$$
$$z_{7} = \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} + i \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}$$
$$z_{8} = \cos{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} - i \sin{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)}$$
$$z_{9} = \cos{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} + i \sin{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$
Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$x_{4} = - \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} - i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}$$
$$x_{5} = - \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} + i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}$$
$$x_{6} = \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} - i \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}$$
$$x_{7} = \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} + i \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}$$
$$x_{8} = \cos{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} - i \sin{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)}$$
$$x_{9} = \cos{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} + i \sin{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)}$$
$$x^{9} = 1$$
Т.к. степень в уравнении равна = 9 - не содержит чётного числа в числителе, то
уравнение будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 9-й степени из обеих частей уравнения:
Получим:
$$\sqrt[9]{\left(1 x + 0\right)^{9}} = \sqrt[9]{1}$$
или
$$x = 1$$
Получим ответ: x = 1
Остальные 8 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда уравнение будет таким:
$$z^{9} = 1$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{9} e^{9 i p} = 1$$
где
$$r = 1$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{9 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(9 p \right)} + \cos{\left(9 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(9 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(9 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{9}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = 1$$
$$z_{2} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{3} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{4} = - \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} - i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}$$
$$z_{5} = - \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} + i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}$$
$$z_{6} = \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} - i \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}$$
$$z_{7} = \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} + i \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}$$
$$z_{8} = \cos{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} - i \sin{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)}$$
$$z_{9} = \cos{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} + i \sin{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$
Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$x_{4} = - \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} - i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}$$
$$x_{5} = - \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} + i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}$$
$$x_{6} = \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} - i \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}$$
$$x_{7} = \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} + i \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}$$
$$x_{8} = \cos{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} - i \sin{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)}$$
$$x_{9} = \cos{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} + i \sin{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)}$$
Быстрый ответ
[src]
x_1 = 1
$$x_{1} = 1$$
___
1 I*\/ 3
x_2 = - - - -------
2 2
$$x_{2} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
___
1 I*\/ 3
x_3 = - - + -------
2 2
$$x_{3} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
/pi\ /pi\
x_4 = - cos|--| - I*sin|--|
\9 / \9 /
$$x_{4} = - \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} - i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}$$
/pi\ /pi\
x_5 = - cos|--| + I*sin|--|
\9 / \9 /
$$x_{5} = - \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} + i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}$$
/2*pi\ /2*pi\
x_6 = - I*sin|----| + cos|----|
\ 9 / \ 9 /
$$x_{6} = \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} - i \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}$$
/2*pi\ /2*pi\
x_7 = I*sin|----| + cos|----|
\ 9 / \ 9 /
$$x_{7} = \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} + i \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}$$
/pi\ /4*pi\
x_8 = - I*cos|--| + cos|----|
\18/ \ 9 /
$$x_{8} = \cos{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} - i \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}$$
/pi\ /4*pi\
x_9 = I*cos|--| + cos|----|
\18/ \ 9 /
$$x_{9} = \cos{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} + i \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}$$
Сумма и произведение корней
[src]
сумма
___ ___
1 I*\/ 3 1 I*\/ 3 /pi\ /pi\ /pi\ /pi\ /2*pi\ /2*pi\ /2*pi\ /2*pi\ /pi\ /4*pi\ /pi\ /4*pi\
1 + - - - ------- + - - + ------- + - cos|--| - I*sin|--| + - cos|--| + I*sin|--| + - I*sin|----| + cos|----| + I*sin|----| + cos|----| + - I*cos|--| + cos|----| + I*cos|--| + cos|----|
2 2 2 2 \9 / \9 / \9 / \9 / \ 9 / \ 9 / \ 9 / \ 9 / \18/ \ 9 / \18/ \ 9 /
$$\left(1\right) + \left(- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) + \left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) + \left(- \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} - i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}\right) + \left(- \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} + i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}\right) + \left(\cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} - i \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}\right) + \left(\cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} + i \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}\right) + \left(\cos{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} - i \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}\right) + \left(\cos{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} + i \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}\right)$$
=
/pi\ /2*pi\ /4*pi\
- 2*cos|--| + 2*cos|----| + 2*cos|----|
\9 / \ 9 / \ 9 /
$$- 2 \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} + 2 \cos{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} + 2 \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}$$
произведение
___ ___
1 I*\/ 3 1 I*\/ 3 /pi\ /pi\ /pi\ /pi\ /2*pi\ /2*pi\ /2*pi\ /2*pi\ /pi\ /4*pi\ /pi\ /4*pi\
1 * - - - ------- * - - + ------- * - cos|--| - I*sin|--| * - cos|--| + I*sin|--| * - I*sin|----| + cos|----| * I*sin|----| + cos|----| * - I*cos|--| + cos|----| * I*cos|--| + cos|----|
2 2 2 2 \9 / \9 / \9 / \9 / \ 9 / \ 9 / \ 9 / \ 9 / \18/ \ 9 / \18/ \ 9 /
$$\left(1\right) * \left(- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) * \left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) * \left(- \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} - i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}\right) * \left(- \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} + i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}\right) * \left(\cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} - i \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}\right) * \left(\cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)} + i \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}\right) * \left(\cos{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} - i \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}\right) * \left(\cos{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} + i \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)}\right)$$
=
4/pi\ 6/pi\ 6/pi\ 2/pi\
-3 - 12*sin |--| + 4*cos |--| + 4*sin |--| + 12*sin |--|
\9 / \9 / \9 / \9 /
$$-3 - 12 \sin^{4}{\left(\frac{\pi}{9} \right)} + 4 \sin^{6}{\left(\frac{\pi}{9} \right)} + 12 \sin^{2}{\left(\frac{\pi}{9} \right)} + 4 \cos^{6}{\left(\frac{\pi}{9} \right)}$$
Численный ответ
[src]
x1 = -0.5 + 0.866025403784439*i
x2 = 0.17364817766693 - 0.984807753012208*i
x3 = 0.766044443118978 - 0.642787609686539*i
x4 = 0.766044443118978 + 0.642787609686539*i
x5 = -0.939692620785908 - 0.342020143325669*i
x6 = 1.0
x7 = -0.939692620785908 + 0.342020143325669*i
x8 = 0.17364817766693 + 0.984807753012208*i
x9 = -0.5 - 0.866025403784439*i
x9 = -0.5 - 0.866025403784439*i
График