Господин Экзамен
Другие калькуляторы
-
Как пользоваться?
- Уравнение:
- Уравнение 5x^3-5x=0
- Уравнение x^4+25=0
-
Уравнение cos(x)=5/2
- Уравнение x^2-17x+16=0
- Выразите {x} через y в уравнении:
- 2*x+9*y=13
- 5*x-7*y=-11
- 5*x-7*y=14
- 3*x+2*y=-6
- Разложить многочлен на множители:
- x^4+25
-
Идентичные выражения
- x^ четыре + двадцать пять = ноль
- x в степени 4 плюс 25 равно 0
- x в степени четыре плюс двадцать пять равно ноль
- x4+25=0
- x⁴+25=0
- x^4+25=O
-
Похожие выражения
- x^4-25=0
x^4+25=0 уравнение
С верным решением ты станешь самым любимым в группе❤️😊
Решение
Подробное решение
Дано уравнение
$$x^{4} + 25 = 0$$
Т.к. степень в уравнении равна = 4 и свободный член = -25 < 0,
зн. действительных решений у соответствующего уравнения не существует
Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда уравнение будет таким:
$$z^{4} = -25$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{4} e^{4 i p} = -25$$
где
$$r = \sqrt{5}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{4 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(4 p \right)} + \cos{\left(4 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(4 p \right)} = -1$$
и
$$\sin{\left(4 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{2} + \frac{\pi}{4}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = - \frac{\sqrt{10}}{2} - \frac{\sqrt{10} i}{2}$$
$$z_{2} = - \frac{\sqrt{10}}{2} + \frac{\sqrt{10} i}{2}$$
$$z_{3} = \frac{\sqrt{10}}{2} - \frac{\sqrt{10} i}{2}$$
$$z_{4} = \frac{\sqrt{10}}{2} + \frac{\sqrt{10} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$
Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{10}}{2} - \frac{\sqrt{10} i}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{10}}{2} + \frac{\sqrt{10} i}{2}$$
$$x_{3} = \frac{\sqrt{10}}{2} - \frac{\sqrt{10} i}{2}$$
$$x_{4} = \frac{\sqrt{10}}{2} + \frac{\sqrt{10} i}{2}$$
$$x^{4} + 25 = 0$$
Т.к. степень в уравнении равна = 4 и свободный член = -25 < 0,
зн. действительных решений у соответствующего уравнения не существует
Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда уравнение будет таким:
$$z^{4} = -25$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{4} e^{4 i p} = -25$$
где
$$r = \sqrt{5}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{4 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(4 p \right)} + \cos{\left(4 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(4 p \right)} = -1$$
и
$$\sin{\left(4 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{2} + \frac{\pi}{4}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = - \frac{\sqrt{10}}{2} - \frac{\sqrt{10} i}{2}$$
$$z_{2} = - \frac{\sqrt{10}}{2} + \frac{\sqrt{10} i}{2}$$
$$z_{3} = \frac{\sqrt{10}}{2} - \frac{\sqrt{10} i}{2}$$
$$z_{4} = \frac{\sqrt{10}}{2} + \frac{\sqrt{10} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$
Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{10}}{2} - \frac{\sqrt{10} i}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{10}}{2} + \frac{\sqrt{10} i}{2}$$
$$x_{3} = \frac{\sqrt{10}}{2} - \frac{\sqrt{10} i}{2}$$
$$x_{4} = \frac{\sqrt{10}}{2} + \frac{\sqrt{10} i}{2}$$
Быстрый ответ
[src]
____ ____
\/ 10 I*\/ 10
x_1 = - ------ - --------
2 2
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{10}}{2} - \frac{\sqrt{10} i}{2}$$
____ ____
\/ 10 I*\/ 10
x_2 = - ------ + --------
2 2
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{10}}{2} + \frac{\sqrt{10} i}{2}$$
____ ____
\/ 10 I*\/ 10
x_3 = ------ - --------
2 2
$$x_{3} = \frac{\sqrt{10}}{2} - \frac{\sqrt{10} i}{2}$$
____ ____
\/ 10 I*\/ 10
x_4 = ------ + --------
2 2
$$x_{4} = \frac{\sqrt{10}}{2} + \frac{\sqrt{10} i}{2}$$
Сумма и произведение корней
[src]
сумма
____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____
\/ 10 I*\/ 10 \/ 10 I*\/ 10 \/ 10 I*\/ 10 \/ 10 I*\/ 10
- ------ - -------- + - ------ + -------- + ------ - -------- + ------ + --------
2 2 2 2 2 2 2 2
$$\left(- \frac{\sqrt{10}}{2} - \frac{\sqrt{10} i}{2}\right) + \left(- \frac{\sqrt{10}}{2} + \frac{\sqrt{10} i}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{10}}{2} - \frac{\sqrt{10} i}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{10}}{2} + \frac{\sqrt{10} i}{2}\right)$$
=
0
$$0$$
произведение
____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____
\/ 10 I*\/ 10 \/ 10 I*\/ 10 \/ 10 I*\/ 10 \/ 10 I*\/ 10
- ------ - -------- * - ------ + -------- * ------ - -------- * ------ + --------
2 2 2 2 2 2 2 2
$$\left(- \frac{\sqrt{10}}{2} - \frac{\sqrt{10} i}{2}\right) * \left(- \frac{\sqrt{10}}{2} + \frac{\sqrt{10} i}{2}\right) * \left(\frac{\sqrt{10}}{2} - \frac{\sqrt{10} i}{2}\right) * \left(\frac{\sqrt{10}}{2} + \frac{\sqrt{10} i}{2}\right)$$
=
25
$$25$$
Численный ответ
[src]
x1 = -1.58113883008419 + 1.58113883008419*i
x2 = 1.58113883008419 - 1.58113883008419*i
x3 = 1.58113883008419 + 1.58113883008419*i
x4 = -1.58113883008419 - 1.58113883008419*i
x4 = -1.58113883008419 - 1.58113883008419*i