(x+5)^4+(x+5)^2-12=0 уравнение

Дано уравнение:
$$\left(x + 5\right)^{4} + \left(x + 5\right)^{2} - 12 = 0$$
Сделаем замену
$$v = \left(x + 5\right)^{2}$$
тогда уравнение будет таким:
$$v^{2} + v - 12 = 0$$
Это уравнение вида
$$a\ v^2 + b\ v + c = 0$$
Квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта
Корни квадратного уравнения:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где $D = b^2 - 4 a c$ - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 1$$
$$c = -12$$
, то
$$D = b^2 - 4\ a\ c = $$
$$1^{2} - 1 \cdot 4 \left(-12\right) = 49$$
Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
$$v_1 = \frac{(-b + \sqrt{D})}{2 a}$$
$$v_2 = \frac{(-b - \sqrt{D})}{2 a}$$
или
$$v_{1} = 3$$
Упростить
$$v_{2} = -4$$
Упростить
Получаем окончательный ответ:
Т.к.
$$v = \left(x + 5\right)^{2}$$
то
$$x_{1} = \sqrt{v_{1}} - 5$$
$$x_{2} = - \sqrt{v_{1}} - 5$$
$$x_{3} = \sqrt{v_{2}} - 5$$
$$x_{4} = - \sqrt{v_{2}} - 5$$
тогда:
$$x_{1} = - \frac{5}{1} + \frac{1 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{1} = -5 + \sqrt{3}$$
$$x_{2} = - \frac{5}{1} + \frac{\left(-1\right) 3^{\frac{1}{2}}}{1} = -5 - \sqrt{3}$$
$$x_{3} = - \frac{5}{1} + \frac{1 \left(-4\right)^{\frac{1}{2}}}{1} = -5 + 2 i$$
$$x_{4} = - \frac{5}{1} + \frac{\left(-1\right) \left(-4\right)^{\frac{1}{2}}}{1} = -5 - 2 i$$