Господин Экзамен
Другие калькуляторы
-
Как пользоваться?
- Уравнение:
- Уравнение (x-10)^7=1
-
Уравнение 7^x=49
-
Уравнение 2х-5х²+7=0
-
Уравнение (x-3)^2-(x+1)^2=12
- Выразите {x} через y в уравнении:
- 5*x+2*y=12
- 8*x-4*y=12
- 5*x+3*y=0
- 4*x-4*y=12
-
Идентичные выражения
- (x- десять)^ семь = один
- (x минус 10) в степени 7 равно 1
- (x минус десять) в степени семь равно один
- (x-10)7=1
- x-107=1
- (x-10)⁷=1
- x-10^7=1
-
Похожие выражения
- (x+10)^7=1
(x-10)^7=1 уравнение
С верным решением ты станешь самым любимым в группе❤️😊
Решение
Подробное решение
Дано уравнение
$$\left(x - 10\right)^{7} = 1$$
Т.к. степень в уравнении равна = 7 - не содержит чётного числа в числителе, то
уравнение будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 7-й степени из обеих частей уравнения:
Получим:
$$\sqrt[7]{\left(1 x - 10\right)^{7}} = \sqrt[7]{1}$$
или
$$x - 10 = 1$$
Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
$$x = 11$$
Получим ответ: x = 11
Остальные 6 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x - 10$$
тогда уравнение будет таким:
$$z^{7} = 1$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{7} e^{7 i p} = 1$$
где
$$r = 1$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{7 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(7 p \right)} + \cos{\left(7 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(7 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(7 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{7}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = 1$$
$$z_{2} = - \cos{\left(\frac{\pi}{7} \right)} - i \sin{\left(\frac{\pi}{7} \right)}$$
$$z_{3} = - \cos{\left(\frac{\pi}{7} \right)} + i \sin{\left(\frac{\pi}{7} \right)}$$
$$z_{4} = \cos{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)} - i \sin{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)}$$
$$z_{5} = \cos{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)} + i \sin{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)}$$
$$z_{6} = - \cos{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)} - i \sin{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)}$$
$$z_{7} = - \cos{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)} + i \sin{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)}$$
делаем обратную замену
$$z = x - 10$$
$$x = z + 10$$
Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = 11$$
$$x_{2} = - \cos{\left(\frac{\pi}{7} \right)} + 10 - i \sin{\left(\frac{\pi}{7} \right)}$$
$$x_{3} = - \cos{\left(\frac{\pi}{7} \right)} + 10 + i \sin{\left(\frac{\pi}{7} \right)}$$
$$x_{4} = \cos{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)} + 10 - i \sin{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)}$$
$$x_{5} = \cos{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)} + 10 + i \sin{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)}$$
$$x_{6} = - \cos{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)} + 10 - i \sin{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)}$$
$$x_{7} = - \cos{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)} + 10 + i \sin{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)}$$
$$\left(x - 10\right)^{7} = 1$$
Т.к. степень в уравнении равна = 7 - не содержит чётного числа в числителе, то
уравнение будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 7-й степени из обеих частей уравнения:
Получим:
$$\sqrt[7]{\left(1 x - 10\right)^{7}} = \sqrt[7]{1}$$
или
$$x - 10 = 1$$
Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
$$x = 11$$
Получим ответ: x = 11
Остальные 6 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x - 10$$
тогда уравнение будет таким:
$$z^{7} = 1$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{7} e^{7 i p} = 1$$
где
$$r = 1$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{7 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(7 p \right)} + \cos{\left(7 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(7 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(7 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{7}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = 1$$
$$z_{2} = - \cos{\left(\frac{\pi}{7} \right)} - i \sin{\left(\frac{\pi}{7} \right)}$$
$$z_{3} = - \cos{\left(\frac{\pi}{7} \right)} + i \sin{\left(\frac{\pi}{7} \right)}$$
$$z_{4} = \cos{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)} - i \sin{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)}$$
$$z_{5} = \cos{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)} + i \sin{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)}$$
$$z_{6} = - \cos{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)} - i \sin{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)}$$
$$z_{7} = - \cos{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)} + i \sin{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)}$$
делаем обратную замену
$$z = x - 10$$
$$x = z + 10$$
Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = 11$$
$$x_{2} = - \cos{\left(\frac{\pi}{7} \right)} + 10 - i \sin{\left(\frac{\pi}{7} \right)}$$
$$x_{3} = - \cos{\left(\frac{\pi}{7} \right)} + 10 + i \sin{\left(\frac{\pi}{7} \right)}$$
$$x_{4} = \cos{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)} + 10 - i \sin{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)}$$
$$x_{5} = \cos{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)} + 10 + i \sin{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)}$$
$$x_{6} = - \cos{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)} + 10 - i \sin{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)}$$
$$x_{7} = - \cos{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)} + 10 + i \sin{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)}$$
Быстрый ответ
[src]
x_1 = 11
$$x_{1} = 11$$
x_2 = 9.09903113209758 - 0.433883739117558*I
$$x_{2} = 9.09903113209758 - 0.433883739117558 i$$
x_3 = 9.09903113209758 + 0.433883739117558*I
$$x_{3} = 9.09903113209758 + 0.433883739117558 i$$
x_4 = 9.77747906604369 - 0.974927912181824*I
$$x_{4} = 9.77747906604369 - 0.974927912181824 i$$
x_5 = 9.77747906604369 + 0.974927912181824*I
$$x_{5} = 9.77747906604369 + 0.974927912181824 i$$
x_6 = 10.6234898018587 - 0.78183148246803*I
$$x_{6} = 10.6234898018587 - 0.78183148246803 i$$
x_7 = 10.6234898018587 + 0.78183148246803*I
$$x_{7} = 10.6234898018587 + 0.78183148246803 i$$
Сумма и произведение корней
[src]
сумма
11 + 9.09903113209758 - 0.433883739117558*I + 9.09903113209758 + 0.433883739117558*I + 9.77747906604369 - 0.974927912181824*I + 9.77747906604369 + 0.974927912181824*I + 10.6234898018587 - 0.78183148246803*I + 10.6234898018587 + 0.78183148246803*I
$$\left(11\right) + \left(9.09903113209758 - 0.433883739117558 i\right) + \left(9.09903113209758 + 0.433883739117558 i\right) + \left(9.77747906604369 - 0.974927912181824 i\right) + \left(9.77747906604369 + 0.974927912181824 i\right) + \left(10.6234898018587 - 0.78183148246803 i\right) + \left(10.6234898018587 + 0.78183148246803 i\right)$$
=
70.0000000000000
$$70.0$$
произведение
11 * 9.09903113209758 - 0.433883739117558*I * 9.09903113209758 + 0.433883739117558*I * 9.77747906604369 - 0.974927912181824*I * 9.77747906604369 + 0.974927912181824*I * 10.6234898018587 - 0.78183148246803*I * 10.6234898018587 + 0.78183148246803*I
$$\left(11\right) * \left(9.09903113209758 - 0.433883739117558 i\right) * \left(9.09903113209758 + 0.433883739117558 i\right) * \left(9.77747906604369 - 0.974927912181824 i\right) * \left(9.77747906604369 + 0.974927912181824 i\right) * \left(10.6234898018587 - 0.78183148246803 i\right) * \left(10.6234898018587 + 0.78183148246803 i\right)$$
=
10000001.0 - 5.82076609134674e-11*I
$$10000001.0 - 5.82076609134674 \cdot 10^{-11} i$$
Численный ответ
[src]
x1 = 9.77747906604369 - 0.974927912181824*i
x2 = 9.09903113209758 - 0.433883739117558*i
x3 = 10.6234898018587 + 0.78183148246803*i
x4 = 9.77747906604369 + 0.974927912181824*i
x5 = 11.0
x6 = 9.09903113209758 + 0.433883739117558*i
x7 = 10.6234898018587 - 0.78183148246803*i
x7 = 10.6234898018587 - 0.78183148246803*i