1-cos(x)=sin(x/2) уравнение

Дано уравнение:
$$- \cos{\left(x \right)} + 1 = \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$$
Преобразуем
$$- \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} - \cos{\left(x \right)} + 1 = 0$$
$$\left(2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} - 1\right) \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} = 0$$
Рассмотрим каждый множитель по-отдельности

Step

$$2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} - 1 = 0$$
- это простейшее тригонометрическое уравнение
Перенесём $-1$ в правую часть уравнения
с изменением знака при $-1$
Получим:
$$2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} = 1$$
Разделим обе части уравнения на $2$
уравнение превратится в
$$\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} = \frac{1}{2}$$
Это уравнение преобразуется в
$$\frac{x}{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} \right)}$$
$$\frac{x}{2} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} \right)} + \pi$$
Или
$$\frac{x}{2} = 2 \pi n + \frac{\pi}{6}$$
$$\frac{x}{2} = 2 \pi n + \frac{5 \pi}{6}$$
, где n - любое целое число
Разделим обе части полученного уравнения на
$$\frac{1}{2}$$
получим промежуточный ответ:
$$x = 4 \pi n + \frac{\pi}{3}$$
$$x = 4 \pi n + \frac{5 \pi}{3}$$

Step

$$\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} = 0$$
- это простейшее тригонометрическое уравнение
Получим:
$$\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} = 0$$
Это уравнение преобразуется в
$$\frac{x}{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(0 \right)}$$
$$\frac{x}{2} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(0 \right)} + \pi$$
Или
$$\frac{x}{2} = 2 \pi n$$
$$\frac{x}{2} = 2 \pi n + \pi$$
, где n - любое целое число
Разделим обе части полученного уравнения на
$$\frac{1}{2}$$
получим промежуточный ответ:
$$x = 4 \pi n + \frac{\pi}{3}$$
$$x = 4 \pi n + \frac{5 \pi}{3}$$
$$x = 4 \pi n$$
$$x = 4 \pi n + 2 \pi$$
Получаем окончательный ответ:
$$x_{1} = 4 \pi n + \frac{\pi}{3}$$
$$x_{2} = 4 \pi n + \frac{5 \pi}{3}$$
$$x_{3} = 4 \pi n$$
$$x_{4} = 4 \pi n + 2 \pi$$