√(2x+5)-√(3x-5)=2 уравнение

Дано уравнение
$$\sqrt{2 x + 5} - \sqrt{3 x - 5} = 2$$
Возведём обе части уравнения в(о) 2-ую степень
$$\left(\sqrt{2 x + 5} - \sqrt{3 x - 5}\right)^{2} = 4$$
или
$$1^{2} \cdot \left(2 x + 5\right) + \left(\left(-1\right) 2 \cdot 1 \sqrt{\left(2 x + 5\right) \left(3 x - 5\right)} + \left(-1\right)^{2} \cdot \left(3 x - 5\right)\right) = 4$$
или
$$5 x - 2 \sqrt{6 x^{2} + 5 x - 25} = 4$$
преобразуем:
$$- 2 \sqrt{6 x^{2} + 5 x - 25} = - 5 x + 4$$
Возведём обе части уравнения в(о) 2-ую степень
$$24 x^{2} + 20 x - 100 = \left(- 5 x + 4\right)^{2}$$
$$24 x^{2} + 20 x - 100 = 25 x^{2} - 40 x + 16$$
Перенесём правую часть уравнения левую часть уравнения со знаком минус
$$- x^{2} + 60 x - 116 = 0$$
Это уравнение вида
$$a\ x^2 + b\ x + c = 0$$
Квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где $D = b^2 - 4 a c$ - это дискриминант.
Т.к.
$$a = -1$$
$$b = 60$$
$$c = -116$$
, то
$$D = b^2 - 4\ a\ c = $$
$$\left(-1\right) \left(\left(-1\right) 4\right) \left(-116\right) + 60^{2} = 3136$$
Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
$$x_1 = \frac{(-b + \sqrt{D})}{2 a}$$
$$x_2 = \frac{(-b - \sqrt{D})}{2 a}$$
или
$$x_{1} = 2$$
Упростить
$$x_{2} = 58$$
Упростить

Т.к.
$$\sqrt{6 x^{2} + 5 x - 25} = \frac{5 x}{2} - 2$$
и
$$\sqrt{6 x^{2} + 5 x - 25} \geq 0$$
то
$$\frac{5 x}{2} - 2 >= 0$$
или
$$\frac{4}{5} \leq x$$
$$x < \infty$$
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 58$$
проверяем:
$$x_{1} = 2$$
$$\sqrt{2 x_{1} + 5} - \sqrt{3 x_{1} - 5} - 2 = 0$$
=
$$-2 + \left(- \sqrt{\left(-1\right) 5 + 3 \cdot 2} + \sqrt{2 \cdot 2 + 5}\right) = 0$$
=

0 = 0

- тождество
$$x_{2} = 58$$
$$\sqrt{2 x_{2} + 5} - \sqrt{3 x_{2} - 5} - 2 = 0$$
=
$$\left(- \sqrt{\left(-1\right) 5 + 3 \cdot 58} + \sqrt{5 + 2 \cdot 58}\right) - 2 = 0$$
=

9 - sqrt(174 - 1*5) = 0

- Нет
Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = 2$$