Господин Экзамен
Другие калькуляторы
-
Как пользоваться?
- Уравнение:
- Уравнение 12:(x-5)=2
- Уравнение 1/3х=-2/9
-
Уравнение (25+x)-10=40
- Уравнение 7х+9=4х+3
- Выразите {x} через y в уравнении:
- 9*x-14*y=11
- 19*x+14*y=17
- 3*x-4*y=12
- 19*x-14*y=17
- Интеграл d{x}:
-
4*x^5
-
16
- Производная:
-
4*x^5
- 16
- График функции y =:
- 16
-
Идентичные выражения
- четыре *x^ пять = шестнадцать
- 4 умножить на x в степени 5 равно 16
- четыре умножить на x в степени пять равно шестнадцать
- 4*x5=16
- 4*x⁵=16
- 4x^5=16
- 4x5=16
-
Похожие выражения
- (x)=(1-4*x)^5
4*x^5=16 уравнение
С верным решением ты станешь самым любимым в группе❤️😊
Решение
Подробное решение
Дано уравнение
$$4 x^{5} = 16$$
Т.к. степень в уравнении равна = 5 - не содержит чётного числа в числителе, то
уравнение будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 5-й степени из обеих частей уравнения:
Получим:
$$\sqrt[5]{4} \sqrt[5]{\left(1 x + 0\right)^{5}} = \sqrt[5]{16}$$
или
$$2^{\frac{2}{5}} x = 2^{\frac{4}{5}}$$
Раскрываем скобочки в левой части уравнения
Раскрываем скобочки в правой части уравнения
Разделим обе части уравнения на 2^(2/5)
Получим ответ: x = 2^(2/5)
Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда уравнение будет таким:
$$z^{5} = 4$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{5} e^{5 i p} = 4$$
где
$$r = 2^{\frac{2}{5}}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{5 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(5 p \right)} + \cos{\left(5 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(5 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(5 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{5}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = 2^{\frac{2}{5}}$$
$$z_{2} = - \frac{2^{\frac{2}{5}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{5}} \sqrt{5}}{4} - 2^{\frac{2}{5}} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$z_{3} = - \frac{2^{\frac{2}{5}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{5}} \sqrt{5}}{4} + 2^{\frac{2}{5}} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$z_{4} = - \frac{2^{\frac{2}{5}} \sqrt{5}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{5}}}{4} - 2^{\frac{2}{5}} i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$z_{5} = - \frac{2^{\frac{2}{5}} \sqrt{5}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{5}}}{4} + 2^{\frac{2}{5}} i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$
Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = 2^{\frac{2}{5}}$$
$$x_{2} = - \frac{2^{\frac{2}{5}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{5}} \sqrt{5}}{4} - 2^{\frac{2}{5}} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$x_{3} = - \frac{2^{\frac{2}{5}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{5}} \sqrt{5}}{4} + 2^{\frac{2}{5}} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$x_{4} = - \frac{2^{\frac{2}{5}} \sqrt{5}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{5}}}{4} - 2^{\frac{2}{5}} i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$x_{5} = - \frac{2^{\frac{2}{5}} \sqrt{5}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{5}}}{4} + 2^{\frac{2}{5}} i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$4 x^{5} = 16$$
Т.к. степень в уравнении равна = 5 - не содержит чётного числа в числителе, то
уравнение будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 5-й степени из обеих частей уравнения:
Получим:
$$\sqrt[5]{4} \sqrt[5]{\left(1 x + 0\right)^{5}} = \sqrt[5]{16}$$
или
$$2^{\frac{2}{5}} x = 2^{\frac{4}{5}}$$
Раскрываем скобочки в левой части уравнения
x*2^2/5 = 2^(4/5)
Раскрываем скобочки в правой части уравнения
x*2^2/5 = 2^4/5
Разделим обе части уравнения на 2^(2/5)
x = 2^(4/5) / (2^(2/5))
Получим ответ: x = 2^(2/5)
Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда уравнение будет таким:
$$z^{5} = 4$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{5} e^{5 i p} = 4$$
где
$$r = 2^{\frac{2}{5}}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{5 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(5 p \right)} + \cos{\left(5 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(5 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(5 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{5}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = 2^{\frac{2}{5}}$$
$$z_{2} = - \frac{2^{\frac{2}{5}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{5}} \sqrt{5}}{4} - 2^{\frac{2}{5}} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$z_{3} = - \frac{2^{\frac{2}{5}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{5}} \sqrt{5}}{4} + 2^{\frac{2}{5}} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$z_{4} = - \frac{2^{\frac{2}{5}} \sqrt{5}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{5}}}{4} - 2^{\frac{2}{5}} i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$z_{5} = - \frac{2^{\frac{2}{5}} \sqrt{5}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{5}}}{4} + 2^{\frac{2}{5}} i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$
Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = 2^{\frac{2}{5}}$$
$$x_{2} = - \frac{2^{\frac{2}{5}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{5}} \sqrt{5}}{4} - 2^{\frac{2}{5}} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$x_{3} = - \frac{2^{\frac{2}{5}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{5}} \sqrt{5}}{4} + 2^{\frac{2}{5}} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$x_{4} = - \frac{2^{\frac{2}{5}} \sqrt{5}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{5}}}{4} - 2^{\frac{2}{5}} i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$x_{5} = - \frac{2^{\frac{2}{5}} \sqrt{5}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{5}}}{4} + 2^{\frac{2}{5}} i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
Быстрый ответ
[src]
2/5 x_1 = 2
$$x_{1} = 2^{\frac{2}{5}}$$
___________
2/5 / ___\ 9/10 / ___
2 *\-1 + \/ 5 / I*2 *\/ 5 + \/ 5
x_2 = ----------------- - ----------------------
4 4
$$x_{2} = \frac{2^{\frac{2}{5}} \left(-1 + \sqrt{5}\right)}{4} - \frac{2^{\frac{9}{10}} i \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{4}$$
___________
2/5 / ___\ 9/10 / ___
2 *\-1 + \/ 5 / I*2 *\/ 5 + \/ 5
x_3 = ----------------- + ----------------------
4 4
$$x_{3} = \frac{2^{\frac{2}{5}} \left(-1 + \sqrt{5}\right)}{4} + \frac{2^{\frac{9}{10}} i \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{4}$$
___________
2/5 / ___\ 9/10 / ___
2 *\-1 - \/ 5 / I*2 *\/ 5 - \/ 5
x_4 = ----------------- - ----------------------
4 4
$$x_{4} = \frac{2^{\frac{2}{5}} \left(- \sqrt{5} - 1\right)}{4} - \frac{2^{\frac{9}{10}} i \sqrt{- \sqrt{5} + 5}}{4}$$
___________
2/5 / ___\ 9/10 / ___
2 *\-1 - \/ 5 / I*2 *\/ 5 - \/ 5
x_5 = ----------------- + ----------------------
4 4
$$x_{5} = \frac{2^{\frac{2}{5}} \left(- \sqrt{5} - 1\right)}{4} + \frac{2^{\frac{9}{10}} i \sqrt{- \sqrt{5} + 5}}{4}$$
Сумма и произведение корней
[src]
сумма
___________ ___________ ___________ ___________
2/5 / ___\ 9/10 / ___ 2/5 / ___\ 9/10 / ___ 2/5 / ___\ 9/10 / ___ 2/5 / ___\ 9/10 / ___
2/5 2 *\-1 + \/ 5 / I*2 *\/ 5 + \/ 5 2 *\-1 + \/ 5 / I*2 *\/ 5 + \/ 5 2 *\-1 - \/ 5 / I*2 *\/ 5 - \/ 5 2 *\-1 - \/ 5 / I*2 *\/ 5 - \/ 5
2 + ----------------- - ---------------------- + ----------------- + ---------------------- + ----------------- - ---------------------- + ----------------- + ----------------------
4 4 4 4 4 4 4 4
$$\left(2^{\frac{2}{5}}\right) + \left(\frac{2^{\frac{2}{5}} \left(-1 + \sqrt{5}\right)}{4} - \frac{2^{\frac{9}{10}} i \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{4}\right) + \left(\frac{2^{\frac{2}{5}} \left(-1 + \sqrt{5}\right)}{4} + \frac{2^{\frac{9}{10}} i \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{4}\right) + \left(\frac{2^{\frac{2}{5}} \left(- \sqrt{5} - 1\right)}{4} - \frac{2^{\frac{9}{10}} i \sqrt{- \sqrt{5} + 5}}{4}\right) + \left(\frac{2^{\frac{2}{5}} \left(- \sqrt{5} - 1\right)}{4} + \frac{2^{\frac{9}{10}} i \sqrt{- \sqrt{5} + 5}}{4}\right)$$
=
2/5 / ___\ 2/5 / ___\
2/5 2 *\-1 + \/ 5 / 2 *\-1 - \/ 5 /
2 + ----------------- + -----------------
2 2
$$\frac{2^{\frac{2}{5}} \left(- \sqrt{5} - 1\right)}{2} + \frac{2^{\frac{2}{5}} \left(-1 + \sqrt{5}\right)}{2} + 2^{\frac{2}{5}}$$
произведение
___________ ___________ ___________ ___________
2/5 / ___\ 9/10 / ___ 2/5 / ___\ 9/10 / ___ 2/5 / ___\ 9/10 / ___ 2/5 / ___\ 9/10 / ___
2/5 2 *\-1 + \/ 5 / I*2 *\/ 5 + \/ 5 2 *\-1 + \/ 5 / I*2 *\/ 5 + \/ 5 2 *\-1 - \/ 5 / I*2 *\/ 5 - \/ 5 2 *\-1 - \/ 5 / I*2 *\/ 5 - \/ 5
2 * ----------------- - ---------------------- * ----------------- + ---------------------- * ----------------- - ---------------------- * ----------------- + ----------------------
4 4 4 4 4 4 4 4
$$\left(2^{\frac{2}{5}}\right) * \left(\frac{2^{\frac{2}{5}} \left(-1 + \sqrt{5}\right)}{4} - \frac{2^{\frac{9}{10}} i \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{4}\right) * \left(\frac{2^{\frac{2}{5}} \left(-1 + \sqrt{5}\right)}{4} + \frac{2^{\frac{9}{10}} i \sqrt{\sqrt{5} + 5}}{4}\right) * \left(\frac{2^{\frac{2}{5}} \left(- \sqrt{5} - 1\right)}{4} - \frac{2^{\frac{9}{10}} i \sqrt{- \sqrt{5} + 5}}{4}\right) * \left(\frac{2^{\frac{2}{5}} \left(- \sqrt{5} - 1\right)}{4} + \frac{2^{\frac{9}{10}} i \sqrt{- \sqrt{5} + 5}}{4}\right)$$
=
4
$$4$$
Численный ответ
[src]
x1 = -1.06750432402745 - 0.77558729023556*i
x2 = 1.31950791077289
x3 = 0.407750368641006 + 1.25492659684357*i
x4 = -1.06750432402745 + 0.77558729023556*i
x5 = 0.407750368641006 - 1.25492659684357*i
x5 = 0.407750368641006 - 1.25492659684357*i
График