Дифференциальное уравнение y’’–y=exp(-x)

Step

Дано уравнение:
$$- y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = e^{- x}$$
Это дифференциальное уравнение имеет вид:
$y'' + p\ y' + q\ y = s$,
где
$$p = 0$$
$$q = -1$$
$$s = - e^{- x}$$
Называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
Решить это уравнение не представляет особой сложности.

Step

Решим сначала соответствующее линейное однородное уравнение
$$y'' + p\ y' + q\ y = 0$$
Сначала отыскиваем корни характеристического уравнения:
$$k^{2} + k p + q = 0$$
В нашем случае характеристическое уравнение будет иметь вид:
$$k^{2} - 1 = 0$$
Подробное решение простого уравнения
- это простое квадратное уравнение.
Корни этого уравнения:
$$k_{1} = -1$$
$$k_{2} = 1$$
Т.к. характеристическое уравнение имеет два корня,
и корни не имеют комплексный вид, то
решение соответствующего дифференциального уравнения имеет вид:
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{k_{1} x} + C_{2} e^{k_{2} x}$$
$$y{\left(x \right)} = C_{2} e^{x} + C_{1} e^{- x}$$

Step

Мы нашли решение соответствующего однородного уравнения
Теперь надо решить наше неоднородное уравнение
$$y'' + p\ y' + q\ y = s$$
Используем метод вариации произвольной постоянной.
Считаем, что C1 и C2 - это функции от x.

И общим решением будет:
$$y{\left(x \right)} = C_{2}{\left(x \right)} e^{x} + C_{1}{\left(x \right)} e^{- x}$$
где $C_{1}{\left(x \right)}$ и $C_{2}{\left(x \right)}$
Согласно методу вариации постоянных найдём из системы:
$$\begin{cases}y_{1}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} + y_{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} = 0\\\frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y_{1}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y_{2}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}\end{cases}$$
где
$y_{1}{\left(x \right)}$ и $y_{2}{\left(x \right)}$ - линейно независимые частные решения ЛОДУ,
$y_{1}{\left(x \right)} = e^{- x}$ ($C_{1}$=1, $C_{2}$=0),
$y_{2}{\left(x \right)} = e^{x}$ ($C_{1}$=0, $C_{2}$=1).
А свободный член $f = -s$,или
$$f{\left(x \right)} = e^{- x}$$
Значит, система примет вид:
$$e^{x} \frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} + e^{- x} \frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{- x} + \frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{x} = e^{- x}$$
или
$$e^{x} \frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} + e^{- x} \frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} = 0$$
$$e^{x} \frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} - e^{- x} \frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} = e^{- x}$$
Решаем эту систему:
$$\frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} = - \frac{1}{2}$$
$$\frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} = \frac{e^{- 2 x}}{2}$$
- это простые дифференциального уравнения, решаем их
$$C_{1}{\left(x \right)} = C_{3} + \int \left(- \frac{1}{2}\right)\, dx$$
$$C_{2}{\left(x \right)} = C_{4} + \int \frac{e^{- 2 x}}{2}\, dx$$
или
$$C_{1}{\left(x \right)} = C_{3} - \frac{x}{2}$$
$$C_{2}{\left(x \right)} = C_{4} - \frac{e^{- 2 x}}{4}$$
Подставляем найденные $C_{1}{\left(x \right)}$ и $C_{2}{\left(x \right)}$ в
$$y{\left(x \right)} = C_{2}{\left(x \right)} e^{x} + C_{1}{\left(x \right)} e^{- x}$$
Получаем окончательный ответ:

Answer: $$y{\left(x \right)} = C_{4} e^{x} + C_{3} e^{- x} - \frac{x e^{- x}}{2} - \frac{e^{- x}}{4}$$

где $C_{3}$ и $C_{4}$ есть константы