Дифференциальное уравнение y'x³=2y

Step

Разделим обе части уравнения на множитель при производной y':
$$x^{3}$$
Получим уравнение:
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{2 y{\left(x \right)}}{x^{3}}$$
Это дифференциальное уравнение имеет вид:
$$y' + P(x)y = 0$$,
где
$$P{\left(x \right)} = - \frac{2}{x^{3}}$$
и
и называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением 1го порядка:
Это уравнение с разделяющимися переменными.
Данное уравнение решается следущими шагами:
Из $y' + P(x)y = 0$ получаем
$$\frac{dy}{y} = - P{\left(x \right)} dx$$, при y не равным 0
$$\int \frac{1}{y}\, dy = - \int P{\left(x \right)}\, dx$$
$$\log{\left(\left|{y}\right| \right)} = - \int P{\left(x \right)}\, dx$$
Или,
$$\left|{y}\right| = e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
Поэтому,
$$y_{1} = e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
$$y_{2} = - e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
Из выражения видно, что надо найти интеграл:
$$\int P{\left(x \right)}\, dx$$
Т.к.
$$P{\left(x \right)} = - \frac{2}{x^{3}}$$, то
$$\int P{\left(x \right)}\, dx = \int \left(- \frac{2}{x^{3}}\right)\, dx = Const + \frac{1}{x^{2}}$$
Подробное решение интеграла
Зн., решение однородного линейного уравнения:
$$y_{1} = e^{C_{1} - \frac{1}{x^{2}}}$$
$$y_{2} = - e^{C_{2} - \frac{1}{x^{2}}}$$
что соответствует решению с любой константой C, не равной нулю:
$$y = C e^{- \frac{1}{x^{2}}}$$