Дифференциальное уравнение dy/dx=y(1-y)

Step

Дано уравнение:
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \left(- y{\left(x \right)} + 1\right) y{\left(x \right)}$$
Это дифференциальное уравнение имеет вид:
$$f_1(x)\ g_1(y)\ y' = f_2(x)\ g_2(y)$$
где
$$f_{1}{\left(x \right)} = 1$$
$$g_{1}{\left(y \right)} = 1$$
$$f_{2}{\left(x \right)} = -1$$
$$g_{2}{\left(y \right)} = \left(y{\left(x \right)} - 1\right) y{\left(x \right)}$$
Приведём уравнение к виду:
$$\frac{g_1(y)}{g_2(y)}\ y'= \frac{f_2(x)}{f_1(x)}$$
Разделим обе части уравнения на $g_{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}$
$$\left(y{\left(x \right)} - 1\right) y{\left(x \right)}$$
получим
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\left(y{\left(x \right)} - 1\right) y{\left(x \right)}} = -1$$
Этим самым мы разделили переменные x и y.

Step

Теперь домножим обе части уравнения на dx, тогда уравнение будет таким
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\left(y{\left(x \right)} - 1\right) y{\left(x \right)}} = - dx$$
или
$$\frac{dy}{\left(y{\left(x \right)} - 1\right) y{\left(x \right)}} = - dx$$

Step

Возьмём от обеих частей уравнения интегралы:
- от левой части интеграл по y,
- от правой части интеграл по x.
$$\int \frac{1}{y \left(y - 1\right)}\, dy = \int \left(-1\right)\, dx$$
Подробное решение интеграла с y
Подробное решение интеграла с x
Возьмём эти интегралы
$$- \log{\left(y \right)} + \log{\left(y - 1 \right)} = Const - x$$
Подробное решение простого уравнения
Мы получили обыкн. уравнение с неизвестной y.
(Const - это константа)

Решением будет:
$$y_{1} = y{\left(x \right)} = \frac{1}{C_{1} e^{- x} + 1}$$