Господин Экзамен

Другие калькуляторы

Дифференциальные уравнения/ y”+10y’+26=0

Дифференциальное уравнение y”+10y’+26=0

С верным решением ты станешь самым любимым в группе❤️😊

v

Для задачи Коши:

y() =
y'() =
y''() =
y'''() =
y''''() =

График:

от до
⌨

Решение

Вы ввели [src] 
                     2          
        d           d           
26 + 10*--(y(x)) + ---(y(x)) = 0
        dx           2          
                   dx
$$10 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} + 26 = 0$$ 
10*y' + y'' + 26 = 0
Подробное решение

Step


Дано уравнение:
$$10 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} + 26 = 0$$
Это дифференциальное уравнение имеет вид:
$y'' + p\ y' + q\ y = s$,
где
$$p = 10$$
$$q = 0$$
$$s = 26$$
Называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
Решить это уравнение не представляет особой сложности.

Step


Сначала отыскиваем корни характеристического уравнения:
$$k^{2} + k p + q = 0$$
В нашем случае характеристическое уравнение будет иметь вид:
$$k^{2} + 10 k = 0$$
Подробное решение простого уравнения
- это простое квадратное уравнение.
Корни этого уравнения:
$$k_{1} = -10$$
$$k_{2} = 0$$
Т.к. характеристическое уравнение имеет два корня,
и корни не имеют комплексный вид, то
решение соответствующего дифференциального уравнения имеет вид:
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{k_{1} x} + C_{2} e^{k_{2} x}$$
$$y{\left(x \right)} = C_{2} + C_{1} e^{- 10 x}$$

Step


Мы нашли решение соответствующего однородного уравнения
Теперь надо решить наше неоднородное уравнение
$$y'' + p\ y' + q\ y = s$$
Используем метод вариации произвольной постоянной.
Считаем, что C1 и C2 - это функции от x.

И общим решением будет:
$$y{\left(x \right)} = C_{2}{\left(x \right)} + C_{1}{\left(x \right)} e^{- 10 x}$$
где $C_{1}{\left(x \right)}$ и $C_{2}{\left(x \right)}$
Согласно методу вариации постоянных найдём из системы:
$$\begin{cases}y_{1}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} + y_{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} = 0\\\frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y_{1}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y_{2}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}\end{cases}$$
где
$y_{1}{\left(x \right)}$ и $y_{2}{\left(x \right)}$ - линейно независимые частные решения ЛОДУ,
$y_{1}{\left(x \right)} = e^{- 10 x}$ ($C_{1}$=1, $C_{2}$=0),
$y_{2}{\left(x \right)} = 1$ ($C_{1}$=0, $C_{2}$=1).
А свободный член $f = -s$,или
$$f{\left(x \right)} = -26$$
Значит, система примет вид:
$$\frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} + e^{- 10 x} \frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} 1 \frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{- 10 x} = -26$$
или
$$\frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} + e^{- 10 x} \frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} = 0$$
$$- 10 e^{- 10 x} \frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} = -26$$
Решаем эту систему:
$$\frac{d}{d x} C_{1}{\left(x \right)} = \frac{13 e^{10 x}}{5}$$
$$\frac{d}{d x} C_{2}{\left(x \right)} = - \frac{13}{5}$$
- это простые дифференциального уравнения, решаем их
$$C_{1}{\left(x \right)} = C_{3} + \int \frac{13 e^{10 x}}{5}\, dx$$
$$C_{2}{\left(x \right)} = C_{4} + \int \left(- \frac{13}{5}\right)\, dx$$
или
$$C_{1}{\left(x \right)} = \frac{13 e^{10 x}}{50} + C_{3}$$
$$C_{2}{\left(x \right)} = C_{4} - \frac{13 x}{5}$$
Подставляем найденные $C_{1}{\left(x \right)}$ и $C_{2}{\left(x \right)}$ в
$$y{\left(x \right)} = C_{2}{\left(x \right)} + C_{1}{\left(x \right)} e^{- 10 x}$$
Получаем окончательный ответ:
Answer: $$y{\left(x \right)} = C_{4} - \frac{13 x}{5} + \frac{13}{50} + C_{3} e^{- 10 x}$$
где $C_{3}$ и $C_{4}$ есть константы
Ответ [src] 
            13*x       -10*x
y(x) = C1 - ---- + C2*e     
             5
$$y{\left(x \right)} = C_{1} - \frac{13 x}{5} + C_{2} e^{- 10 x}$$
Построить график при C=-1
Построить график при C=0
Построить график при C=1
Ответ (#2) [src]
$$y\left(x\right)={{5\,\left(\left.{{d}\over{d\,x}}\,y\left(x\right) \right|_{x=0}\right)+50\,y\left(0\right)+13}\over{50}}-{{e^ {- 10\,x }\,\left(5\,\left(\left.{{d}\over{d\,x}}\,y\left(x\right)\right|_{x= 0}\right)+13\right)}\over{50}}-{{13\,x}\over{5}}$$ 
y = (5*('at('diff(y,x,1),x = 0))+50*y(0)+13)/50-(E^-(10*x)*(5*('at('diff(y,x,1),x = 0))+13))/50-(13*x)/5
Классификация
factorable
nth linear constant coeff undetermined coefficients
nth linear constant coeff variation of parameters
nth linear constant coeff variation of parameters Integral
nth order reducible
    © Господин Экзамен – Калькулятор