Господин Экзамен

Другие калькуляторы

Дифференциальные уравнения/ 9y"+12y´+4y=0

Дифференциальное уравнение 9y"+12y´+4y=0

С верным решением ты станешь самым любимым в группе❤️😊

v

Для задачи Коши:

y() =
y'() =
y''() =
y'''() =
y''''() =

График:

от до
⌨

Решение

Вы ввели [src] 
             2                        
            d             d           
4*y(x) + 9*---(y(x)) + 12*--(y(x)) = 0
             2            dx          
           dx
$$4 y{\left(x \right)} + 12 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 9 \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 0$$ 
4*y + 12*y' + 9*y'' = 0
Подробное решение

Step


Разделим обе части уравнения на множитель при производной y'':
$$9$$
Получим уравнение:
$$\frac{4 y{\left(x \right)}}{9} + \frac{4 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{3} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 0$$
Это дифференциальное уравнение имеет вид:
$y'' + p\ y' + q\ y = 0$,
где
$$p = \frac{4}{3}$$
$$q = \frac{4}{9}$$
Называется линейным однородным дифференциальным уравнением 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
Решить это уравнение не представляет особой сложности.

Step


Решим сначала соответствующее линейное однородное уравнение
$$y'' + p\ y' + q\ y = 0$$
Сначала отыскиваем корни характеристического уравнения:
$$k^{2} + k p + q = 0$$
В нашем случае характеристическое уравнение будет иметь вид:
$$k^{2} + \frac{4 k}{3} + \frac{4}{9} = 0$$
Подробное решение простого уравнения
- это простое квадратное уравнение.
Корень этого уравнения:
$$k_{1} = - \frac{2}{3}$$
Т.к. корень характеристического уравнения один,
и не имеет комплексный вид, то
решение соответствующего дифференциального уравнения имеет вид:
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{k_{1} x} + C_{2} x e^{k_{1} x}$$
Подставляем $k_{1} = - \frac{2}{3}$
Получаем окончательный ответ:
$$y{\left(x \right)} = C_{2} x e^{- \frac{2 x}{3}} + C_{1} e^{- \frac{2 x}{3}}$$
Ответ [src] 
                    -2*x
                    ----
                     3  
y(x) = (C1 + C2*x)*e
$$y{\left(x \right)} = \left(C_{2} x + C_{1}\right) e^{- \frac{2 x}{3}}$$
Построить график при C=-1
Построить график при C=0
Построить график при C=1
Ответ (#2) [src]
$$y\left(x\right)=x\,e^ {- {{2\,x}\over{3}} }\,\left(\left.{{d}\over{ d\,x}}\,y\left(x\right)\right|_{x=0}\right)+{{2\,y\left(0\right)\,x \,e^ {- {{2\,x}\over{3}} }}\over{3}}+y\left(0\right)\,e^ {- {{2\,x }\over{3}} }$$ 
y = x*E^-((2*x)/3)*('at('diff(y,x,1),x = 0))+(2*y(0)*x*E^-((2*x)/3))/3+y(0)*E^-((2*x)/3)
Классификация
2nd power series ordinary
factorable
nth linear constant coeff homogeneous
    © Господин Экзамен – Калькулятор