Производная x*tan(1/x)

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = x$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   $g{\left(x \right)} = \tan{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

      $\tan{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)} = \frac{\sin{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}{\cos{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}$

   2. Применим правило производной частного:

      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

      $f{\left(x \right)} = \sin{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}$.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Заменим $u = 1 \cdot \frac{1}{x}$.

      2. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 1 \cdot \frac{1}{x}$:

         1. Применим правило производной частного:

            $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

            $f{\left(x \right)} = 1$ и $g{\left(x \right)} = x$.

            Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

            1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

            Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Теперь применим правило производной деления:

            $- \frac{1}{x^{2}}$

         В результате последовательности правил:

         $- \frac{\cos{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}{x^{2}}$

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Заменим $u = 1 \cdot \frac{1}{x}$.

      2. Производная косинус есть минус синус:

         $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 1 \cdot \frac{1}{x}$:

         1. Применим правило производной частного:

            $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

            $f{\left(x \right)} = 1$ и $g{\left(x \right)} = x$.

            Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

            1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

            Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Теперь применим правило производной деления:

            $- \frac{1}{x^{2}}$

         В результате последовательности правил:

         $\frac{\sin{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}{x^{2}}$

      Теперь применим правило производной деления:

      $\frac{- \frac{\sin^{2}{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}{x^{2}} - \frac{\cos^{2}{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}{x^{2}}}{\cos^{2}{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}$

   В результате: $\frac{x \left(- \frac{\sin^{2}{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}{x^{2}} - \frac{\cos^{2}{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}{x^{2}}\right)}{\cos^{2}{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}} + \tan{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{x \sin{\left(\frac{2}{x} \right)} - 2}{x \left(\cos{\left(\frac{2}{x} \right)} + 1\right)}$

Ответ:

$\frac{x \sin{\left(\frac{2}{x} \right)} - 2}{x \left(\cos{\left(\frac{2}{x} \right)} + 1\right)}$