Производная x*e^(1-cos(x))

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = x$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   $g{\left(x \right)} = e^{1 - \cos{\left(x \right)}}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Заменим $u = 1 - \cos{\left(x \right)}$.

   2. Производная $e^{u}$ само оно.

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(1 - \cos{\left(x \right)}\right)$:

      1. дифференцируем $1 - \cos{\left(x \right)}$ почленно:

         1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

         2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. Производная косинус есть минус синус:

               $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

            Таким образом, в результате: $\sin{\left(x \right)}$

         В результате: $\sin{\left(x \right)}$

      В результате последовательности правил:

      $e^{1 - \cos{\left(x \right)}} \sin{\left(x \right)}$

   В результате: $x e^{1 - \cos{\left(x \right)}} \sin{\left(x \right)} + e^{1 - \cos{\left(x \right)}}$

2. Теперь упростим:

   $\left(x \sin{\left(x \right)} + 1\right) e^{1 - \cos{\left(x \right)}}$

Ответ:

$\left(x \sin{\left(x \right)} + 1\right) e^{1 - \cos{\left(x \right)}}$