Производная (x-2)^2/x+1

1. дифференцируем $1 + \frac{\left(x - 2\right)^{2}}{x}$ почленно:

   1. Применим правило производной частного:

      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

      $f{\left(x \right)} = \left(x - 2\right)^{2}$ и $g{\left(x \right)} = x$.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Заменим $u = x - 2$.

      2. В силу правила, применим: $u^{2}$ получим $2 u$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(x - 2\right)$:

         1. дифференцируем $x - 2$ почленно:

            1. Производная постоянной $-2$ равна нулю.

            2. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            В результате: $1$

         В результате последовательности правил:

         $2 x - 4$

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      Теперь применим правило производной деления:

      $\frac{x \left(2 x - 4\right) - \left(x - 2\right)^{2}}{x^{2}}$

   2. Производная постоянной $1$ равна нулю.

   В результате: $\frac{x \left(2 x - 4\right) - \left(x - 2\right)^{2}}{x^{2}}$

2. Теперь упростим:

   $1 - \frac{4}{x^{2}}$

Ответ:

$1 - \frac{4}{x^{2}}$