Производная x/(exp(x)-1)

Вы ввели [src]

  x   
------
 x    
e  - 1

$$\frac{x}{e^{x} - 1}$$

d /  x   \
--|------|
dx| x    |
  \e  - 1/

$$\frac{d}{d x} \frac{x}{e^{x} - 1}$$

Преобразовать

Подробное решение

Применим правило производной частного:

$\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

$f{\left(x \right)} = x$ и $g{\left(x \right)} = e^{x} - 1$ .

Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$
Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
1. дифференцируем $e^{x} - 1$ почленно:
  1. Производная постоянной $-1$ равна нулю.
  2. Производная $e^{x}$ само оно.
  В результате: $e^{x}$
Теперь применим правило производной деления:

$\frac{- x e^{x} + e^{x} - 1}{\left(e^{x} - 1\right)^{2}}$
Теперь упростим:

$\frac{- x e^{x} + e^{x} - 1}{\left(1 - e^{x}\right)^{2}}$

Ответ:

$\frac{- x e^{x} + e^{x} - 1}{\left(1 - e^{x}\right)^{2}}$

График

Построить график f(x)

Построить график f'(x)

Первая производная [src]

               x  
  1         x*e   
------ - ---------
 x               2
e  - 1   / x    \ 
         \e  - 1/

$$- \frac{x e^{x}}{\left(e^{x} - 1\right)^{2}} + \frac{1}{e^{x} - 1}$$

Упростить

Вторая производная [src]

 /      /         x \\    
 |      |      2*e  ||  x 
-|2 + x*|1 - -------||*e  
 |      |          x||    
 \      \    -1 + e //    
--------------------------
                 2        
        /      x\         
        \-1 + e /

$$- \frac{\left(x \left(1 - \frac{2 e^{x}}{e^{x} - 1}\right) + 2\right) e^{x}}{\left(e^{x} - 1\right)^{2}}$$

Упростить

Третья производная [src]

 /      /         x         2*x  \        x \    
 |      |      6*e       6*e     |     6*e  |  x 
-|3 + x*|1 - ------- + ----------| - -------|*e  
 |      |          x            2|         x|    
 |      |    -1 + e    /      x\ |   -1 + e |    
 \      \              \-1 + e / /          /    
-------------------------------------------------
                             2                   
                    /      x\                    
                    \-1 + e /

$$- \frac{\left(x \left(1 - \frac{6 e^{x}}{e^{x} - 1} + \frac{6 e^{2 x}}{\left(e^{x} - 1\right)^{2}}\right) + 3 - \frac{6 e^{x}}{e^{x} - 1}\right) e^{x}}{\left(e^{x} - 1\right)^{2}}$$

Упростить

График

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Производная x/(exp(x)-1)

График:

Кусочно-заданная:

Решение