Производная 8*sin(x)*cos(x)

1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

   1. Применяем правило производной умножения:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Производная косинус есть минус синус:

         $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

      $g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

      В результате: $- \sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}$

   Таким образом, в результате: $- 8 \sin^{2}{\left(x \right)} + 8 \cos^{2}{\left(x \right)}$

2. Теперь упростим:

   $8 \cos{\left(2 x \right)}$

Ответ:

$8 \cos{\left(2 x \right)}$