Производная (31-x)*e^(x+31)

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = 31 - x$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. дифференцируем $31 - x$ почленно:

      1. Производная постоянной $31$ равна нулю.

      2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Таким образом, в результате: $-1$

      В результате: $-1$

   $g{\left(x \right)} = e^{x + 31}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Заменим $u = x + 31$.

   2. Производная $e^{u}$ само оно.

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(x + 31\right)$:

      1. дифференцируем $x + 31$ почленно:

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         2. Производная постоянной $31$ равна нулю.

         В результате: $1$

      В результате последовательности правил:

      $e^{x + 31}$

   В результате: $\left(31 - x\right) e^{x + 31} - e^{x + 31}$

2. Теперь упростим:

   $\left(30 - x\right) e^{x + 31}$

Ответ:

$\left(30 - x\right) e^{x + 31}$