Производная 3*x*exp(x)*cos(2*x)+7*x*exp(x)*sin(2*x)

1. дифференцируем $7 x e^{x} \sin{\left(2 x \right)} + 3 x e^{x} \cos{\left(2 x \right)}$ почленно:

   1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. Применяем правило производной умножения:

         $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} h{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} h{\left(x \right)} + f{\left(x \right)} h{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} h{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

         $f{\left(x \right)} = x$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         $g{\left(x \right)} = \cos{\left(2 x \right)}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. Заменим $u = 2 x$.

         2. Производная косинус есть минус синус:

            $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

         3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 2 x$:

            1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

               1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

               Таким образом, в результате: $2$

            В результате последовательности правил:

            $- 2 \sin{\left(2 x \right)}$

         $h{\left(x \right)} = e^{x}$; найдём $\frac{d}{d x} h{\left(x \right)}$:

         1. Производная $e^{x}$ само оно.

         В результате: $- 2 x e^{x} \sin{\left(2 x \right)} + x e^{x} \cos{\left(2 x \right)} + e^{x} \cos{\left(2 x \right)}$

      Таким образом, в результате: $- 6 x e^{x} \sin{\left(2 x \right)} + 3 x e^{x} \cos{\left(2 x \right)} + 3 e^{x} \cos{\left(2 x \right)}$

   2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. Применяем правило производной умножения:

         $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} h{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} h{\left(x \right)} + f{\left(x \right)} h{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} h{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

         $f{\left(x \right)} = x$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         $g{\left(x \right)} = e^{x}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. Производная $e^{x}$ само оно.

         $h{\left(x \right)} = \sin{\left(2 x \right)}$; найдём $\frac{d}{d x} h{\left(x \right)}$:

         1. Заменим $u = 2 x$.

         2. Производная синуса есть косинус:

            $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

         3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 2 x$:

            1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

               1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

               Таким образом, в результате: $2$

            В результате последовательности правил:

            $2 \cos{\left(2 x \right)}$

         В результате: $x e^{x} \sin{\left(2 x \right)} + 2 x e^{x} \cos{\left(2 x \right)} + e^{x} \sin{\left(2 x \right)}$

      Таким образом, в результате: $7 x e^{x} \sin{\left(2 x \right)} + 14 x e^{x} \cos{\left(2 x \right)} + 7 e^{x} \sin{\left(2 x \right)}$

   В результате: $x e^{x} \sin{\left(2 x \right)} + 17 x e^{x} \cos{\left(2 x \right)} + 7 e^{x} \sin{\left(2 x \right)} + 3 e^{x} \cos{\left(2 x \right)}$

2. Теперь упростим:

   $\left(x \sin{\left(2 x \right)} + 17 x \cos{\left(2 x \right)} + 7 \sin{\left(2 x \right)} + 3 \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{x}$

Ответ:

$\left(x \sin{\left(2 x \right)} + 17 x \cos{\left(2 x \right)} + 7 \sin{\left(2 x \right)} + 3 \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{x}$