Вы ввели:

tan(x^2/3)

Что Вы имели ввиду?

tan(x^2/3)

tan(x^(2/3))

tan(x^(2/3))

Производная tan(x^2/3)

Решение

Вы ввели [src]

   / 2\
   |x |
tan|--|
   \3 /

$$\tan{\left(\frac{x^{2}}{3} \right)}$$

  /   / 2\\
d |   |x ||
--|tan|--||
dx\   \3 //

$$\frac{d}{d x} \tan{\left(\frac{x^{2}}{3} \right)}$$

Преобразовать

Подробное решение

Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

$\tan{\left(\frac{x^{2}}{3} \right)} = \frac{\sin{\left(\frac{x^{2}}{3} \right)}}{\cos{\left(\frac{x^{2}}{3} \right)}}$
Применим правило производной частного:

$\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

$f{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{x^{2}}{3} \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{x^{2}}{3} \right)}$ .

Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
1. Заменим $u = \frac{x^{2}}{3}$ .
2. Производная синуса есть косинус:
  
  $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$
3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{x^{2}}{3}$ :
  1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.
    1. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$
    Таким образом, в результате: $\frac{2 x}{3}$
  В результате последовательности правил:
  
  $\frac{2 x \cos{\left(\frac{x^{2}}{3} \right)}}{3}$
Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
1. Заменим $u = \frac{x^{2}}{3}$ .
2. Производная косинус есть минус синус:
  
  $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$
3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{x^{2}}{3}$ :
  1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.
    1. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$
    Таким образом, в результате: $\frac{2 x}{3}$
  В результате последовательности правил:
  
  $- \frac{2 x \sin{\left(\frac{x^{2}}{3} \right)}}{3}$
Теперь применим правило производной деления:

$\frac{\frac{2 x \sin^{2}{\left(\frac{x^{2}}{3} \right)}}{3} + \frac{2 x \cos^{2}{\left(\frac{x^{2}}{3} \right)}}{3}}{\cos^{2}{\left(\frac{x^{2}}{3} \right)}}$
Теперь упростим:

$\frac{2 x}{3 \cos^{2}{\left(\frac{x^{2}}{3} \right)}}$

Ответ:

$\frac{2 x}{3 \cos^{2}{\left(\frac{x^{2}}{3} \right)}}$

График

Построить график f(x)

Построить график f'(x)

Первая производная [src]

    /        / 2\\
    |       2|x ||
2*x*|1 + tan |--||
    \        \3 //
------------------
        3

$$\frac{2 x \left(\tan^{2}{\left(\frac{x^{2}}{3} \right)} + 1\right)}{3}$$

Упростить

Вторая производная [src]

  /          / 2\        /        / 2\\    / 2\\
  |         2|x |      2 |       2|x ||    |x ||
2*|3 + 3*tan |--| + 4*x *|1 + tan |--||*tan|--||
  \          \3 /        \        \3 //    \3 //
------------------------------------------------
                       9

$$\frac{2 \cdot \left(4 x^{2} \left(\tan^{2}{\left(\frac{x^{2}}{3} \right)} + 1\right) \tan{\left(\frac{x^{2}}{3} \right)} + 3 \tan^{2}{\left(\frac{x^{2}}{3} \right)} + 3\right)}{9}$$

Упростить

Третья производная [src]

    /        / 2\\ /     / 2\        /        / 2\\            / 2\\
    |       2|x || |     |x |      2 |       2|x ||      2    2|x ||
8*x*|1 + tan |--||*|9*tan|--| + 2*x *|1 + tan |--|| + 4*x *tan |--||
    \        \3 // \     \3 /        \        \3 //            \3 //
--------------------------------------------------------------------
                                 27

$$\frac{8 x \left(\tan^{2}{\left(\frac{x^{2}}{3} \right)} + 1\right) \left(4 x^{2} \tan^{2}{\left(\frac{x^{2}}{3} \right)} + 2 x^{2} \left(\tan^{2}{\left(\frac{x^{2}}{3} \right)} + 1\right) + 9 \tan{\left(\frac{x^{2}}{3} \right)}\right)}{27}$$

Упростить

График

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Что Вы имели ввиду?

Вы ввели:

Что Вы имели ввиду?

Производная tan(x^2/3)

График:

Кусочно-заданная:

Решение