Производная tan(x)+cot(x)/sin(x)

Решение

Вы ввели [src]

         cot(x)
tan(x) + ------
         sin(x)

$$\tan{\left(x \right)} + \frac{\cot{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$$

d /         cot(x)\
--|tan(x) + ------|
dx\         sin(x)/

$$\frac{d}{d x} \left(\tan{\left(x \right)} + \frac{\cot{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\right)$$

Преобразовать

Подробное решение

дифференцируем $\tan{\left(x \right)} + \frac{\cot{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$ почленно:
1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:
  
  $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$
2. Применим правило производной частного:
  
  $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
  
  $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ .
  
  Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
  1. Производная синуса есть косинус:
    
    $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
  Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
  1. Производная косинус есть минус синус:
    
    $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
  Теперь применим правило производной деления:
  
  $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$
3. Применим правило производной частного:
  
  $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
  
  $f{\left(x \right)} = \cot{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ .
  
  Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
  1. Есть несколько способов вычислить эту производную.
    Method #1
    1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:
      
      $\cot{\left(x \right)} = \frac{1}{\tan{\left(x \right)}}$
    2. Заменим $u = \tan{\left(x \right)}$ .
    3. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$
    4. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)}$ :
      
      $\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)} = \frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$
      
      В результате последовательности правил:
      
      $- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}$
    Method #2
    1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:
      
      $\cot{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$
    2. Применим правило производной частного:
      
      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
      
      $f{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ .
      
      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
      
      Производная косинус есть минус синус:
      
      $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
      
      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
      
      Производная синуса есть косинус:
      
      $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
      
      Теперь применим правило производной деления:
      
      $\frac{- \sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$
  Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
  1. Производная синуса есть косинус:
    
    $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
  Теперь применим правило производной деления:
  
  $\frac{- \frac{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}} - \cos{\left(x \right)} \cot{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$
В результате: $\frac{- \frac{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}} - \cos{\left(x \right)} \cot{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$
Теперь упростим:

$\frac{\sin{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)} - 1}{\sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}$

Ответ:

$\frac{\sin{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)} - 1}{\sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}$

График

Построить график f(x)

Построить график f'(x)

Первая производная [src]

                      2                   
       2      -1 - cot (x)   cos(x)*cot(x)
1 + tan (x) + ------------ - -------------
                 sin(x)            2      
                                sin (x)

$$\tan^{2}{\left(x \right)} + \frac{- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1}{\sin{\left(x \right)}} + 1 - \frac{\cos{\left(x \right)} \cot{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$$

Упростить

Вторая производная [src]

                                       2               /       2   \            /       2   \       
cot(x)     /       2   \          2*cos (x)*cot(x)   2*\1 + cot (x)/*cot(x)   2*\1 + cot (x)/*cos(x)
------ + 2*\1 + tan (x)/*tan(x) + ---------------- + ---------------------- + ----------------------
sin(x)                                   3                   sin(x)                     2           
                                      sin (x)                                        sin (x)

$$2 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan{\left(x \right)} + \frac{2 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cot{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} + \frac{2 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + \frac{\cot{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} + \frac{2 \cos^{2}{\left(x \right)} \cot{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}}$$

Упростить

Третья производная [src]

                                                    2                                                                                                                                                   
               2     /       2   \     /       2   \                                   2    /       2   \        3                                    2    /       2   \     /       2   \              
  /       2   \    3*\1 + cot (x)/   2*\1 + cot (x)/         2    /       2   \   6*cos (x)*\1 + cot (x)/   6*cos (x)*cot(x)   5*cos(x)*cot(x)   4*cot (x)*\1 + cot (x)/   6*\1 + cot (x)/*cos(x)*cot(x)
2*\1 + tan (x)/  - --------------- - ---------------- + 4*tan (x)*\1 + tan (x)/ - ----------------------- - ---------------- - --------------- - ----------------------- - -----------------------------
                        sin(x)            sin(x)                                             3                     4                  2                   sin(x)                         2              
                                                                                          sin (x)               sin (x)            sin (x)                                            sin (x)

$$4 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan^{2}{\left(x \right)} + 2 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2} - \frac{4 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cot^{2}{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} - \frac{2 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2}}{\sin{\left(x \right)}} - \frac{6 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x \right)} \cot{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} - \frac{3 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}{\sin{\left(x \right)}} - \frac{6 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}} - \frac{5 \cos{\left(x \right)} \cot{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} - \frac{6 \cos^{3}{\left(x \right)} \cot{\left(x \right)}}{\sin^{4}{\left(x \right)}}$$

Упростить

График

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Производная tan(x)+cot(x)/sin(x)

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Method #1

Method #2