Господин Экзамен

Lang:

Другие калькуляторы

Как пользоваться?
Производная:
Производная sin(5*x)^(2)
Производная e^(x)*cos(x)
Производная (sin(7*x))^3
Производная (3*x^2-36*x+36)*e^x
Идентичные выражения
(tan(x)- один)/(cot(x)+ один)
( тангенс от (x) минус 1) делить на ( котангенс от (x) плюс 1)
( тангенс от (x) минус один) делить на ( котангенс от (x) плюс один)
tanx-1/cotx+1
(tan(x)-1) разделить на (cot(x)+1)
Похожие выражения
(tan(x)+1)/(cot(x)+1)
(tan(x)-1)/(cot(x)-1)

Производная функции/ (tan(x)-1)/(cot(x)+1)

Производная (tan(x)-1)/(cot(x)+1)

Решение

Вы ввели [src]

tan(x) - 1
----------
cot(x) + 1

$$\frac{\tan{\left(x \right)} - 1}{\cot{\left(x \right)} + 1}$$

d /tan(x) - 1\
--|----------|
dx\cot(x) + 1/

$$\frac{d}{d x} \frac{\tan{\left(x \right)} - 1}{\cot{\left(x \right)} + 1}$$

Преобразовать

Подробное решение

Применим правило производной частного:

$\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

$f{\left(x \right)} = \tan{\left(x \right)} - 1$ и $g{\left(x \right)} = \cot{\left(x \right)} + 1$ .

Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
1. дифференцируем $\tan{\left(x \right)} - 1$ почленно:
  1. Производная постоянной $-1$ равна нулю.
  2. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:
    
    $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$
  3. Применим правило производной частного:
    
    $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
    
    $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ .
    
    Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
    1. Производная синуса есть косинус:
      
      $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
    Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
    1. Производная косинус есть минус синус:
      
      $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
    Теперь применим правило производной деления:
    
    $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$
  В результате: $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$
Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
1. дифференцируем $\cot{\left(x \right)} + 1$ почленно:
  1. Производная постоянной $1$ равна нулю.
  2. Есть несколько способов вычислить эту производную.
    Method #1
    1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:
      
      $\cot{\left(x \right)} = \frac{1}{\tan{\left(x \right)}}$
    2. Заменим $u = \tan{\left(x \right)}$ .
    3. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$
    4. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)}$ :
      
      $\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)} = \frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$
      
      В результате последовательности правил:
      
      $- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}$
    Method #2
    1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:
      
      $\cot{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$
    2. Применим правило производной частного:
      
      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
      
      $f{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ .
      
      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
      
      Производная косинус есть минус синус:
      
      $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
      
      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
      
      Производная синуса есть косинус:
      
      $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
      
      Теперь применим правило производной деления:
      
      $\frac{- \sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$
  В результате: $- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}$
Теперь применим правило производной деления:

$\frac{\frac{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \left(\tan{\left(x \right)} - 1\right)}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}} + \frac{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \left(\cot{\left(x \right)} + 1\right)}{\cos^{2}{\left(x \right)}}}{\left(\cot{\left(x \right)} + 1\right)^{2}}$
Теперь упростим:

$\frac{\left(-1 + \frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}}\right)^{2} + \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{\cos^{3}{\left(x \right)}} - 1}{\left(\tan{\left(x \right)} + 1\right)^{2}}$

Ответ:

$\frac{\left(-1 + \frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}}\right)^{2} + \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{\cos^{3}{\left(x \right)}} - 1}{\left(\tan{\left(x \right)} + 1\right)^{2}}$

График

Построить график f(x)

Построить график f'(x)

Первая производная [src]

       2      /       2   \             
1 + tan (x)   \1 + cot (x)/*(tan(x) - 1)
----------- + --------------------------
 cot(x) + 1                     2       
                    (cot(x) + 1)

$$\frac{\left(\tan{\left(x \right)} - 1\right) \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}{\left(\cot{\left(x \right)} + 1\right)^{2}} + \frac{\tan^{2}{\left(x \right)} + 1}{\cot{\left(x \right)} + 1}$$

Упростить

Вторая производная [src]

  /                                                                                 /         2            \\
  |                                                     /       2   \               |  1 + cot (x)         ||
  |                       /       2   \ /       2   \   \1 + cot (x)/*(-1 + tan(x))*|- ----------- + cot(x)||
  |/       2   \          \1 + cot (x)/*\1 + tan (x)/                               \   1 + cot(x)         /|
2*|\1 + tan (x)/*tan(x) + --------------------------- - ----------------------------------------------------|
  \                                1 + cot(x)                                1 + cot(x)                     /
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                  1 + cot(x)

$$\frac{2 \left(- \frac{\left(\tan{\left(x \right)} - 1\right) \left(\cot{\left(x \right)} - \frac{\cot^{2}{\left(x \right)} + 1}{\cot{\left(x \right)} + 1}\right) \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}{\cot{\left(x \right)} + 1} + \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan{\left(x \right)} + \frac{\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}{\cot{\left(x \right)} + 1}\right)}{\cot{\left(x \right)} + 1}$$

Упростить

Третья производная [src]

  /                                                            /                               2                         \                                                                                                \
  |                                                            |                  /       2   \      /       2   \       |                                                                                                |
  |                                /       2   \               |         2      3*\1 + cot (x)/    6*\1 + cot (x)/*cot(x)|                                 /         2            \                                       |
  |                                \1 + cot (x)/*(-1 + tan(x))*|1 + 3*cot (x) + ---------------- - ----------------------|     /       2   \ /       2   \ |  1 + cot (x)         |                                       |
  |                                                            |                             2           1 + cot(x)      |   3*\1 + cot (x)/*\1 + tan (x)/*|- ----------- + cot(x)|     /       2   \ /       2   \       |
  |/       2   \ /         2   \                               \                 (1 + cot(x))                            /                                 \   1 + cot(x)         /   3*\1 + cot (x)/*\1 + tan (x)/*tan(x)|
2*|\1 + tan (x)/*\1 + 3*tan (x)/ + --------------------------------------------------------------------------------------- - ------------------------------------------------------ + ------------------------------------|
  \                                                                       1 + cot(x)                                                               1 + cot(x)                                      1 + cot(x)             /
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                                                         1 + cot(x)

$$\frac{2 \left(\frac{\left(\tan{\left(x \right)} - 1\right) \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(3 \cot^{2}{\left(x \right)} - \frac{6 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cot{\left(x \right)}}{\cot{\left(x \right)} + 1} + 1 + \frac{3 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2}}{\left(\cot{\left(x \right)} + 1\right)^{2}}\right)}{\cot{\left(x \right)} + 1} + \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(3 \tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) - \frac{3 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(\cot{\left(x \right)} - \frac{\cot^{2}{\left(x \right)} + 1}{\cot{\left(x \right)} + 1}\right) \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}{\cot{\left(x \right)} + 1} + \frac{3 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan{\left(x \right)}}{\cot{\left(x \right)} + 1}\right)}{\cot{\left(x \right)} + 1}$$

Упростить

График

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Производная (tan(x)-1)/(cot(x)+1)

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Method #1

Method #2