Производная tan(x)/(sin(x)+cos(x))

Решение

Вы ввели [src]

     tan(x)    
---------------
sin(x) + cos(x)

$$\frac{\tan{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}$$

d /     tan(x)    \
--|---------------|
dx\sin(x) + cos(x)/

$$\frac{d}{d x} \frac{\tan{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}$$

Преобразовать

Подробное решение

Применим правило производной частного:

$\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

$f{\left(x \right)} = \tan{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$ .

Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:
  
  $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$
2. Применим правило производной частного:
  
  $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
  
  $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ .
  
  Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
  1. Производная синуса есть косинус:
    
    $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
  Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
  1. Производная косинус есть минус синус:
    
    $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
  Теперь применим правило производной деления:
  
  $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$
Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
1. дифференцируем $\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$ почленно:
  1. Производная косинус есть минус синус:
    
    $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
  2. Производная синуса есть косинус:
    
    $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
  В результате: $- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$
Теперь применим правило производной деления:

$\frac{- \left(- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) \tan{\left(x \right)} + \frac{\left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(x \right)}}}{\left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)^{2}}$
Теперь упростим:

$\frac{\sqrt{2} \left(- \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} + \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}\right)}{\left(\sin{\left(2 x \right)} + 1\right) \cos^{2}{\left(x \right)}}$

Ответ:

$\frac{\sqrt{2} \left(- \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} + \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}\right)}{\left(\sin{\left(2 x \right)} + 1\right) \cos^{2}{\left(x \right)}}$

График

Построить график f(x)

Построить график f'(x)

Первая производная [src]

         2                                 
  1 + tan (x)     (-cos(x) + sin(x))*tan(x)
--------------- + -------------------------
sin(x) + cos(x)                        2   
                      (sin(x) + cos(x))

$$\frac{\left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) \tan{\left(x \right)}}{\left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)^{2}} + \frac{\tan^{2}{\left(x \right)} + 1}{\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}$$

Упростить

Вторая производная [src]

/                        2\                                     /       2   \                   
|    2*(-cos(x) + sin(x)) |            /       2   \          2*\1 + tan (x)/*(-cos(x) + sin(x))
|1 + ---------------------|*tan(x) + 2*\1 + tan (x)/*tan(x) + ----------------------------------
|                       2 |                                            cos(x) + sin(x)          
\      (cos(x) + sin(x))  /                                                                     
------------------------------------------------------------------------------------------------
                                        cos(x) + sin(x)

$$\frac{\left(\frac{2 \left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right)^{2}}{\left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)^{2}} + 1\right) \tan{\left(x \right)} + 2 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan{\left(x \right)} + \frac{2 \left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}{\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}}{\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}$$

Упростить

Третья производная [src]

                                                                                /                        2\                                                                      
                                                                                |    6*(-cos(x) + sin(x)) |                                                                      
                                                                                |5 + ---------------------|*(-cos(x) + sin(x))*tan(x)                                            
                                                  /                        2\   |                       2 |                               /       2   \                          
  /       2   \ /         2   \     /       2   \ |    2*(-cos(x) + sin(x)) |   \      (cos(x) + sin(x))  /                             6*\1 + tan (x)/*(-cos(x) + sin(x))*tan(x)
2*\1 + tan (x)/*\1 + 3*tan (x)/ + 3*\1 + tan (x)/*|1 + ---------------------| + ----------------------------------------------------- + -----------------------------------------
                                                  |                       2 |                      cos(x) + sin(x)                                   cos(x) + sin(x)             
                                                  \      (cos(x) + sin(x))  /                                                                                                    
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                                 cos(x) + sin(x)

$$\frac{3 \cdot \left(\frac{2 \left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right)^{2}}{\left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)^{2}} + 1\right) \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) + \frac{\left(\frac{6 \left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right)^{2}}{\left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)^{2}} + 5\right) \left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) \tan{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}} + \frac{6 \left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}} + 2 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(3 \tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}{\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}$$

Упростить

График

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Производная tan(x)/(sin(x)+cos(x))

График:

Кусочно-заданная:

Решение