Производная tan(x)/sin(x)+cos(x)

Решение

Вы ввели [src]

tan(x)         
------ + cos(x)
sin(x)

$$\cos{\left(x \right)} + \frac{\tan{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$$

d /tan(x)         \
--|------ + cos(x)|
dx\sin(x)         /

$$\frac{d}{d x} \left(\cos{\left(x \right)} + \frac{\tan{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\right)$$

Преобразовать

Подробное решение

дифференцируем $\cos{\left(x \right)} + \frac{\tan{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$ почленно:
1. Применим правило производной частного:
  
  $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
  
  $f{\left(x \right)} = \tan{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ .
  
  Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
  1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:
    
    $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$
  2. Применим правило производной частного:
    
    $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
    
    $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ .
    
    Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
    1. Производная синуса есть косинус:
      
      $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
    Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
    1. Производная косинус есть минус синус:
      
      $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
    Теперь применим правило производной деления:
    
    $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$
  Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
  1. Производная синуса есть косинус:
    
    $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
  Теперь применим правило производной деления:
  
  $\frac{\frac{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} - \cos{\left(x \right)} \tan{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$
2. Производная косинус есть минус синус:
  
  $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
В результате: $\frac{\frac{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} - \cos{\left(x \right)} \tan{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} - \sin{\left(x \right)}$
Теперь упростим:

$\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

Ответ:

$\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

График

Построить график f(x)

Построить график f'(x)

Первая производная [src]

                 2                   
          1 + tan (x)   cos(x)*tan(x)
-sin(x) + ----------- - -------------
             sin(x)           2      
                           sin (x)

$$- \sin{\left(x \right)} + \frac{\tan^{2}{\left(x \right)} + 1}{\sin{\left(x \right)}} - \frac{\cos{\left(x \right)} \tan{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$$

Упростить

Вторая производная [src]

                     /       2   \               2               /       2   \       
          tan(x)   2*\1 + tan (x)/*cos(x)   2*cos (x)*tan(x)   2*\1 + tan (x)/*tan(x)
-cos(x) + ------ - ---------------------- + ---------------- + ----------------------
          sin(x)             2                     3                   sin(x)        
                          sin (x)               sin (x)

$$\frac{2 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} - \cos{\left(x \right)} - \frac{2 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + \frac{\tan{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} + \frac{2 \cos^{2}{\left(x \right)} \tan{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}}$$

Упростить

Третья производная [src]

               2                                                                                                                                                    
  /       2   \      /       2   \        3                                    2    /       2   \        2    /       2   \     /       2   \                       
2*\1 + tan (x)/    3*\1 + tan (x)/   6*cos (x)*tan(x)   5*cos(x)*tan(x)   4*tan (x)*\1 + tan (x)/   6*cos (x)*\1 + tan (x)/   6*\1 + tan (x)/*cos(x)*tan(x)         
---------------- + --------------- - ---------------- - --------------- + ----------------------- + ----------------------- - ----------------------------- + sin(x)
     sin(x)             sin(x)              4                  2                   sin(x)                      3                            2                       
                                         sin (x)            sin (x)                                         sin (x)                      sin (x)

$$\frac{4 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan^{2}{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} + \frac{2 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2}}{\sin{\left(x \right)}} - \frac{6 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x \right)} \tan{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + \sin{\left(x \right)} + \frac{3 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}{\sin{\left(x \right)}} + \frac{6 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}} - \frac{5 \cos{\left(x \right)} \tan{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} - \frac{6 \cos^{3}{\left(x \right)} \tan{\left(x \right)}}{\sin^{4}{\left(x \right)}}$$

Упростить

График

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Производная tan(x)/sin(x)+cos(x)

График:

Кусочно-заданная:

Решение