Производная tan(3.14*x)

1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

   $\tan{\left(\frac{157 x}{50} \right)} = \frac{\sin{\left(\frac{157 x}{50} \right)}}{\cos{\left(\frac{157 x}{50} \right)}}$

2. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{157 x}{50} \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{157 x}{50} \right)}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Заменим $u = \frac{157 x}{50}$.

   2. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{157 x}{50}$:

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Таким образом, в результате: $\frac{157}{50}$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{157 \cos{\left(\frac{157 x}{50} \right)}}{50}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Заменим $u = \frac{157 x}{50}$.

   2. Производная косинус есть минус синус:

      $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{157 x}{50}$:

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Таким образом, в результате: $\frac{157}{50}$

      В результате последовательности правил:

      $- \frac{157 \sin{\left(\frac{157 x}{50} \right)}}{50}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{\frac{157 \sin^{2}{\left(\frac{157 x}{50} \right)}}{50} + \frac{157 \cos^{2}{\left(\frac{157 x}{50} \right)}}{50}}{\cos^{2}{\left(\frac{157 x}{50} \right)}}$

3. Теперь упростим:

   $\frac{157}{50 \cos^{2}{\left(\frac{157 x}{50} \right)}}$

Ответ:

$\frac{157}{50 \cos^{2}{\left(\frac{157 x}{50} \right)}}$