Производная tan(sin(x))

Решение

Вы ввели [src]

tan(sin(x))

$$\tan{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}$$

d              
--(tan(sin(x)))
dx

$$\frac{d}{d x} \tan{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}$$

Преобразовать

Подробное решение

Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

$\tan{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} = \frac{\sin{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}}{\cos{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}}$
Применим правило производной частного:

$\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

$f{\left(x \right)} = \sin{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}$ .

Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
1. Заменим $u = \sin{\left(x \right)}$ .
2. Производная синуса есть косинус:
  
  $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$
3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)}$ :
  1. Производная синуса есть косинус:
    
    $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
  В результате последовательности правил:
  
  $\cos{\left(x \right)} \cos{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}$
Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
1. Заменим $u = \sin{\left(x \right)}$ .
2. Производная косинус есть минус синус:
  
  $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$
3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)}$ :
  1. Производная синуса есть косинус:
    
    $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
  В результате последовательности правил:
  
  $- \sin{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} \cos{\left(x \right)}$
Теперь применим правило производной деления:

$\frac{\sin^{2}{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}}{\cos^{2}{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}}$
Теперь упростим:

$\frac{\cos{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}}$

Ответ:

$\frac{\cos{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}}$

График

Построить график f(x)

Построить график f'(x)

Первая производная [src]

/       2        \       
\1 + tan (sin(x))/*cos(x)

$$\left(\tan^{2}{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} + 1\right) \cos{\left(x \right)}$$

Упростить

Вторая производная [src]

/       2        \ /               2               \
\1 + tan (sin(x))/*\-sin(x) + 2*cos (x)*tan(sin(x))/

$$\left(2 \cos^{2}{\left(x \right)} \tan{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} - \sin{\left(x \right)}\right) \left(\tan^{2}{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} + 1\right)$$

Упростить

Третья производная [src]

/       2        \ /                                 2    /       2        \        2       2        \       
\1 + tan (sin(x))/*\-1 - 6*sin(x)*tan(sin(x)) + 2*cos (x)*\1 + tan (sin(x))/ + 4*cos (x)*tan (sin(x))/*cos(x)

$$\left(\tan^{2}{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} + 1\right) \left(4 \cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} + 2 \left(\tan^{2}{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} + 1\right) \cos^{2}{\left(x \right)} - 6 \sin{\left(x \right)} \tan{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} - 1\right) \cos{\left(x \right)}$$

Упростить

График

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Производная tan(sin(x))

График:

Кусочно-заданная:

Решение