Производная tan(4*x+5)

1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

   $\tan{\left(4 x + 5 \right)} = \frac{\sin{\left(4 x + 5 \right)}}{\cos{\left(4 x + 5 \right)}}$

2. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = \sin{\left(4 x + 5 \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(4 x + 5 \right)}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Заменим $u = 4 x + 5$.

   2. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(4 x + 5\right)$:

      1. дифференцируем $4 x + 5$ почленно:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $4$

         2. Производная постоянной $5$ равна нулю.

         В результате: $4$

      В результате последовательности правил:

      $4 \cos{\left(4 x + 5 \right)}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Заменим $u = 4 x + 5$.

   2. Производная косинус есть минус синус:

      $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(4 x + 5\right)$:

      1. дифференцируем $4 x + 5$ почленно:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $4$

         2. Производная постоянной $5$ равна нулю.

         В результате: $4$

      В результате последовательности правил:

      $- 4 \sin{\left(4 x + 5 \right)}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{4 \sin^{2}{\left(4 x + 5 \right)} + 4 \cos^{2}{\left(4 x + 5 \right)}}{\cos^{2}{\left(4 x + 5 \right)}}$

3. Теперь упростим:

   $\frac{4}{\cos^{2}{\left(4 x + 5 \right)}}$

Ответ:

$\frac{4}{\cos^{2}{\left(4 x + 5 \right)}}$