Господин Экзамен

Lang:

Производная функции/ sin(t)-sin(t/n)

Производная sin(t)-sin(t/n)

Решение

Вы ввели [src]

            /t\
sin(t) - sin|-|
            \n/

$$\sin{\left(t \right)} - \sin{\left(\frac{t}{n} \right)}$$

d /            /t\\
--|sin(t) - sin|-||
dt\            \n//

$$\frac{\partial}{\partial t} \left(\sin{\left(t \right)} - \sin{\left(\frac{t}{n} \right)}\right)$$

Преобразовать

Подробное решение

дифференцируем $\sin{\left(t \right)} - \sin{\left(\frac{t}{n} \right)}$ почленно:
1. Производная синуса есть косинус:
  
  $\frac{d}{d t} \sin{\left(t \right)} = \cos{\left(t \right)}$
2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.
  1. Заменим $u = \frac{t}{n}$ .
  2. Производная синуса есть косинус:
    
    $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$
  3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{\partial}{\partial t} \frac{t}{n}$ :
    1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.
      1. В силу правила, применим: $t$ получим $1$
      Таким образом, в результате: $\frac{1}{n}$
    В результате последовательности правил:
    
    $\frac{\cos{\left(\frac{t}{n} \right)}}{n}$
  Таким образом, в результате: $- \frac{\cos{\left(\frac{t}{n} \right)}}{n}$
В результате: $\cos{\left(t \right)} - \frac{\cos{\left(\frac{t}{n} \right)}}{n}$

Ответ:

$\cos{\left(t \right)} - \frac{\cos{\left(\frac{t}{n} \right)}}{n}$

Первая производная [src]

     /t\         
  cos|-|         
     \n/         
- ------ + cos(t)
    n

$$\cos{\left(t \right)} - \frac{\cos{\left(\frac{t}{n} \right)}}{n}$$

Упростить

Вторая производная [src]

             /t\
          sin|-|
             \n/
-sin(t) + ------
             2  
            n

$$- \sin{\left(t \right)} + \frac{\sin{\left(\frac{t}{n} \right)}}{n^{2}}$$

Упростить

Третья производная [src]

             /t\
          cos|-|
             \n/
-cos(t) + ------
             3  
            n

$$- \cos{\left(t \right)} + \frac{\cos{\left(\frac{t}{n} \right)}}{n^{3}}$$

Упростить