Производная sin(2*x/x^2)

1. Заменим $u = \frac{2 x}{x^{2}}$.

2. Производная синуса есть косинус:

   $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{2 x}{x^{2}}$:

   1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. Применим правило производной частного:

         $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

         $f{\left(x \right)} = x$ и $g{\left(x \right)} = x^{2}$.

         Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

         Теперь применим правило производной деления:

         $- \frac{1}{x^{2}}$

      Таким образом, в результате: $- \frac{2}{x^{2}}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{2 \cos{\left(\frac{2 x}{x^{2}} \right)}}{x^{2}}$

4. Теперь упростим:

   $- \frac{2 \cos{\left(\frac{2}{x} \right)}}{x^{2}}$

Ответ:

$- \frac{2 \cos{\left(\frac{2}{x} \right)}}{x^{2}}$