Производная 6*tan(x)-sin(x)

1. дифференцируем $- \sin{\left(x \right)} + 6 \tan{\left(x \right)}$ почленно:

   1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

         $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$

      2. Применим правило производной частного:

         $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

         $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$.

         Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. Производная синуса есть косинус:

            $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

         Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. Производная косинус есть минус синус:

            $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

         Теперь применим правило производной деления:

         $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

      Таким образом, в результате: $\frac{6 \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

   2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

      Таким образом, в результате: $- \cos{\left(x \right)}$

   В результате: $\frac{6 \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(x \right)}} - \cos{\left(x \right)}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{- 3 \cos{\left(x \right)} - \cos{\left(3 x \right)} + 24}{4 \cos^{2}{\left(x \right)}}$

Ответ:

$\frac{- 3 \cos{\left(x \right)} - \cos{\left(3 x \right)} + 24}{4 \cos^{2}{\left(x \right)}}$