Производная -sqrt(t)/(t-1)^(3/2)

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d t} \frac{f{\left(t \right)}}{g{\left(t \right)}} = \frac{- f{\left(t \right)} \frac{d}{d t} g{\left(t \right)} + g{\left(t \right)} \frac{d}{d t} f{\left(t \right)}}{g^{2}{\left(t \right)}}$

   $f{\left(t \right)} = - \sqrt{t}$ и $g{\left(t \right)} = \left(t - 1\right)^{\frac{3}{2}}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d t} f{\left(t \right)}$:

   1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. В силу правила, применим: $\sqrt{t}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{t}}$

      Таким образом, в результате: $- \frac{1}{2 \sqrt{t}}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d t} g{\left(t \right)}$:

   1. Заменим $u = t - 1$.

   2. В силу правила, применим: $u^{\frac{3}{2}}$ получим $\frac{3 \sqrt{u}}{2}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d t} \left(t - 1\right)$:

      1. дифференцируем $t - 1$ почленно:

         1. Производная постоянной $-1$ равна нулю.

         2. В силу правила, применим: $t$ получим $1$

         В результате: $1$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{3 \sqrt{t - 1}}{2}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{\frac{3 \sqrt{t} \sqrt{t - 1}}{2} - \frac{\left(t - 1\right)^{\frac{3}{2}}}{2 \sqrt{t}}}{\left(t - 1\right)^{3}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{t + \frac{1}{2}}{\sqrt{t} \left(t - 1\right)^{\frac{5}{2}}}$

Ответ:

$\frac{t + \frac{1}{2}}{\sqrt{t} \left(t - 1\right)^{\frac{5}{2}}}$