Производная log(x+3)/(x+3)

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = \log{\left(x + 3 \right)}$ и $g{\left(x \right)} = x + 3$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Заменим $u = x + 3$.

   2. Производная $\log{\left(u \right)}$ является $\frac{1}{u}$.

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(x + 3\right)$:

      1. дифференцируем $x + 3$ почленно:

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         2. Производная постоянной $3$ равна нулю.

         В результате: $1$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{1}{x + 3}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. дифференцируем $x + 3$ почленно:

      1. Производная постоянной $3$ равна нулю.

      2. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      В результате: $1$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{\frac{x + 3}{x + 3} - \log{\left(x + 3 \right)}}{\left(x + 3\right)^{2}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{1 - \log{\left(x + 3 \right)}}{\left(x + 3\right)^{2}}$

Ответ:

$\frac{1 - \log{\left(x + 3 \right)}}{\left(x + 3\right)^{2}}$