Производная log((x-1)/(x+1))

1. Заменим $u = \frac{x - 1}{x + 1}$.

2. Производная $\log{\left(u \right)}$ является $\frac{1}{u}$.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{x - 1}{x + 1}$:

   1. Применим правило производной частного:

      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

      $f{\left(x \right)} = x - 1$ и $g{\left(x \right)} = x + 1$.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. дифференцируем $x - 1$ почленно:

         1. Производная постоянной $-1$ равна нулю.

         2. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         В результате: $1$

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. дифференцируем $x + 1$ почленно:

         1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

         2. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         В результате: $1$

      Теперь применим правило производной деления:

      $\frac{2}{\left(x + 1\right)^{2}}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{2 \left(x + 1\right)}{\left(x + 1\right)^{2} \left(x - 1\right)}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{2}{x^{2} - 1}$

Ответ:

$\frac{2}{x^{2} - 1}$