Производная log(sin(x)-cos(x))

1. Заменим $u = \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}$.

2. Производная $\log{\left(u \right)}$ является $\frac{1}{u}$.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right)$:

   1. дифференцируем $\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}$ почленно:

      1. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

      2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. Производная косинус есть минус синус:

            $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

         Таким образом, в результате: $\sin{\left(x \right)}$

      В результате: $\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}}$

4. Теперь упростим:

   $- \tan{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}$

Ответ:

$- \tan{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}$