Производная log(cos(x))/x

Решение

Вы ввели [src]

log(cos(x))
-----------
     x

$$\frac{\log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}}{x}$$

d /log(cos(x))\
--|-----------|
dx\     x     /

$$\frac{d}{d x} \frac{\log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}}{x}$$

Преобразовать

Подробное решение

Применим правило производной частного:

$\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

$f{\left(x \right)} = \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}$ и $g{\left(x \right)} = x$ .

Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
1. Заменим $u = \cos{\left(x \right)}$ .
2. Производная $\log{\left(u \right)}$ является $\frac{1}{u}$ .
3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)}$ :
  1. Производная косинус есть минус синус:
    
    $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
  В результате последовательности правил:
  
  $- \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$
Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$
Теперь применим правило производной деления:

$\frac{- \frac{x \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} - \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}}{x^{2}}$
Теперь упростим:

$- \frac{x \tan{\left(x \right)} + \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}}{x^{2}}$

Ответ:

$- \frac{x \tan{\left(x \right)} + \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}}{x^{2}}$

График

Построить график f(x)

Построить график f'(x)

Первая производная [src]

  log(cos(x))    sin(x) 
- ----------- - --------
        2       x*cos(x)
       x

$$- \frac{\sin{\left(x \right)}}{x \cos{\left(x \right)}} - \frac{\log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}}{x^{2}}$$

Упростить

Вторая производная [src]

        2                              
     sin (x)   2*log(cos(x))   2*sin(x)
-1 - ------- + ------------- + --------
        2             2        x*cos(x)
     cos (x)         x                 
---------------------------------------
                   x

$$\frac{- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} - 1 + \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{x \cos{\left(x \right)}} + \frac{2 \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}}{x^{2}}}{x}$$

Упростить

Третья производная [src]

                    /       2   \                 /       2   \       
                    |    sin (x)|                 |    sin (x)|       
                  3*|1 + -------|               2*|1 + -------|*sin(x)
                    |       2   |                 |       2   |       
  6*log(cos(x))     \    cos (x)/    6*sin(x)     \    cos (x)/       
- ------------- + --------------- - --------- - ----------------------
         3               x           2                  cos(x)        
        x                           x *cos(x)                         
----------------------------------------------------------------------
                                  x

$$\frac{- \frac{2 \left(\frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + 1\right) \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} + \frac{3 \left(\frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + 1\right)}{x} - \frac{6 \sin{\left(x \right)}}{x^{2} \cos{\left(x \right)}} - \frac{6 \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}}{x^{3}}}{x}$$

Упростить

График

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Производная log(cos(x))/x

График:

Кусочно-заданная:

Решение