Производная sqrt(1+1/x)

1. Заменим $u = 1 + 1 \cdot \frac{1}{x}$.

2. В силу правила, применим: $\sqrt{u}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(1 + 1 \cdot \frac{1}{x}\right)$:

   1. дифференцируем $1 + 1 \cdot \frac{1}{x}$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. Применим правило производной частного:

         $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

         $f{\left(x \right)} = 1$ и $g{\left(x \right)} = x$.

         Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

         Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Теперь применим правило производной деления:

         $- \frac{1}{x^{2}}$

      В результате: $- \frac{1}{x^{2}}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{1}{2 x^{2} \sqrt{1 + 1 \cdot \frac{1}{x}}}$

4. Теперь упростим:

   $- \frac{1}{2 x^{2} \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

Ответ:

$- \frac{1}{2 x^{2} \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$