Господин Экзамен

Lang:

Другие калькуляторы

Как пользоваться?
Производная:
Производная e^(3*x)*cos(x)
Производная sqrt(x)^2-4
Производная exp(x)^3
Производная (cos(x))/(1-(sin(x)))
Идентичные выражения
cot(x)^ два /log(x)- один
котангенс от (x) в квадрате делить на логарифм от (x) минус 1
котангенс от (x) в степени два делить на логарифм от (x) минус один
cot(x)2/log(x)-1
cotx2/logx-1
cot(x)²/log(x)-1
cot(x) в степени 2/log(x)-1
cotx^2/logx-1
cot(x)^2 разделить на log(x)-1
Похожие выражения
cot(x)^2/log(x)+1

Производная функции/ cot(x)^2/log(x)-1

Производная cot(x)^2/log(x)-1

Решение

Вы ввели [src]

   2       
cot (x)    
------- - 1
 log(x)

$$\frac{\cot^{2}{\left(x \right)}}{\log{\left(x \right)}} - 1$$

  /   2       \
d |cot (x)    |
--|------- - 1|
dx\ log(x)    /

$$\frac{d}{d x} \left(\frac{\cot^{2}{\left(x \right)}}{\log{\left(x \right)}} - 1\right)$$

Преобразовать

Подробное решение

дифференцируем $\left(-1\right) 1 + \frac{\cot^{2}{\left(x \right)}}{\log{\left(x \right)}}$ почленно:
1. Применим правило производной частного:
  
  $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
  
  $f{\left(x \right)} = \cot^{2}{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)}$ .
  
  Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
  1. Заменим $u = \cot{\left(x \right)}$ .
  2. В силу правила, применим: $u^{2}$ получим $2 u$
  3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cot{\left(x \right)}$ :
    1. Есть несколько способов вычислить эту производную.
      Method #1
      
      Перепишем функции, чтобы дифференцировать:
      
      $\cot{\left(x \right)} = \frac{1}{\tan{\left(x \right)}}$
      
      Заменим $u = \tan{\left(x \right)}$ .
      
      В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$
      
      Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)}$ :
      
      Перепишем функции, чтобы дифференцировать:
      
      $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$
      
      Применим правило производной частного:
      
      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
      
      $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
      
      Производная синуса есть косинус:
      
      $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
      
      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
      
      Производная косинус есть минус синус:
      
      $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
      
      Теперь применим правило производной деления:
      
      $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$
      
      В результате последовательности правил:
      
      $- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}$
      Method #2
      
      Перепишем функции, чтобы дифференцировать:
      
      $\cot{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$
      
      Применим правило производной частного:
      
      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
      
      $f{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ .
      
      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
      
      Производная косинус есть минус синус:
      
      $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
      
      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
      
      Производная синуса есть косинус:
      
      $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
      
      Теперь применим правило производной деления:
      
      $\frac{- \sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$
    В результате последовательности правил:
    
    $- \frac{2 \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \cot{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}$
  Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
  1. Производная $\log{\left(x \right)}$ является $\frac{1}{x}$ .
  Теперь применим правило производной деления:
  
  $\frac{- \frac{2 \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \log{\left(x \right)} \cot{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}} - \frac{\cot^{2}{\left(x \right)}}{x}}{\log{\left(x \right)}^{2}}$
2. Производная постоянной $\left(-1\right) 1$ равна нулю.
В результате: $\frac{- \frac{2 \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \log{\left(x \right)} \cot{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}} - \frac{\cot^{2}{\left(x \right)}}{x}}{\log{\left(x \right)}^{2}}$
Теперь упростим:

$\frac{- \frac{2 x \log{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}} + 1 - \frac{1}{\sin^{2}{\left(x \right)}}}{x \log{\left(x \right)}^{2}}$

Ответ:

$\frac{- \frac{2 x \log{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}} + 1 - \frac{1}{\sin^{2}{\left(x \right)}}}{x \log{\left(x \right)}^{2}}$

График

Построить график f(x)

Построить график f'(x)

Первая производная [src]

/          2   \              2    
\-2 - 2*cot (x)/*cot(x)    cot (x) 
----------------------- - ---------
         log(x)                2   
                          x*log (x)

$$\frac{\left(- 2 \cot^{2}{\left(x \right)} - 2\right) \cot{\left(x \right)}}{\log{\left(x \right)}} - \frac{\cot^{2}{\left(x \right)}}{x \log{\left(x \right)}^{2}}$$

Упростить

Вторая производная [src]

               2                                 2            2         /       2   \       
  /       2   \         2    /       2   \    cot (x)    2*cot (x)    4*\1 + cot (x)/*cot(x)
2*\1 + cot (x)/  + 4*cot (x)*\1 + cot (x)/ + --------- + ---------- + ----------------------
                                              2           2    2             x*log(x)       
                                             x *log(x)   x *log (x)                         
--------------------------------------------------------------------------------------------
                                           log(x)

$$\frac{4 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cot^{2}{\left(x \right)} + 2 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2} + \frac{4 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cot{\left(x \right)}}{x \log{\left(x \right)}} + \frac{\cot^{2}{\left(x \right)}}{x^{2} \log{\left(x \right)}} + \frac{2 \cot^{2}{\left(x \right)}}{x^{2} \log{\left(x \right)}^{2}}}{\log{\left(x \right)}}$$

Упростить

Третья производная [src]

   /                                                                               2                                                                                                      \
   |                                         2              2         /       2   \         2            2         /       2   \               2    /       2   \     /       2   \       |
   |     3    /       2   \     /       2   \            cot (x)    3*\1 + cot (x)/    3*cot (x)    3*cot (x)    3*\1 + cot (x)/*cot(x)   6*cot (x)*\1 + cot (x)/   6*\1 + cot (x)/*cot(x)|
-2*|4*cot (x)*\1 + cot (x)/ + 8*\1 + cot (x)/ *cot(x) + --------- + ---------------- + ---------- + ---------- + ---------------------- + ----------------------- + ----------------------|
   |                                                     3              x*log(x)        3    3       3    2             2                         x*log(x)                 2    2         |
   \                                                    x *log(x)                      x *log (x)   x *log (x)         x *log(x)                                          x *log (x)      /
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                                           log(x)

$$- \frac{2 \cdot \left(4 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cot^{3}{\left(x \right)} + 8 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2} \cot{\left(x \right)} + \frac{6 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cot^{2}{\left(x \right)}}{x \log{\left(x \right)}} + \frac{3 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2}}{x \log{\left(x \right)}} + \frac{3 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cot{\left(x \right)}}{x^{2} \log{\left(x \right)}} + \frac{6 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cot{\left(x \right)}}{x^{2} \log{\left(x \right)}^{2}} + \frac{\cot^{2}{\left(x \right)}}{x^{3} \log{\left(x \right)}} + \frac{3 \cot^{2}{\left(x \right)}}{x^{3} \log{\left(x \right)}^{2}} + \frac{3 \cot^{2}{\left(x \right)}}{x^{3} \log{\left(x \right)}^{3}}\right)}{\log{\left(x \right)}}$$

Упростить

График

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Производная cot(x)^2/log(x)-1

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Method #1

Method #2